安徽省合肥市2014届高三第一次教学质量检测数学理试题含答案

n＝12,i＝1n＝n4开始n是3的倍数?输出i结束是否n＝4n+1n117?是否i＝i＋1合肥市2014年第一次教学质量检测数学（理）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数iz43，z表示复数z的共轭复数，则iz＝（）A．5B．5C．6D．62．设集合{0,},SaT=2{|2},xx则“1a”是“ST”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的结果是（）A．5B．6C．7D．84．过坐标原点O作单位圆221xy的两条互相垂直的半径OAOB、，若在该圆上存在一点C，使得OCaOAbOB（abR、），则以下说法正确的是（）A．点,Pab一定在单位圆内B．点,Pab一定在单位圆上C．点,Pab一定在单位圆外D．当且仅当0ab时，点,Pab在单位圆上5．过双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）A．512B．102C．1714D．2246．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．1825B．242522112正视图侧视图俯视图C．2445D．36457、已知函数()sinsin44fxxx，则一定在函数()yfx图像上的点是（）A．,()xfxB．,()xfxC．,()44xfxD．,()44xfx8．在ABC中，已知cBacos2，212sin)cos2(sinsin2CCBA，则ABC为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形9．已知yx,满足511yxyx时，)0(babyaxz的最大值为1，则ba的最小值为（）A．7B．8C．9D．1010．对于函数fx，若,,abcR，,,fafbfc为某一三角形的三边长，则称fx为“可构造三角形函数”．已知函数1xxetfxe是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．0,B．0,1C．1,2D．1,22第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．若随机变量～)1,2(N，且)3(P＝0.1587，则)1(P__________.12．已知数列na满足12()nnaanN且21a,则20142loga.13．若nxx)3(展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x项的系数为_____________．14．某办公室共有6人，组织出门旅行，旅行车上的6个座位如图所示，其中甲、乙两人的关系较为亲密，要求在同一排且相邻，则不同的安排方法有种15．已知直线：1cossinybxa（ba,为给定的正常数，为参数，)2,0[）构成的集合为S,给出下列命题：ABCDEFxyOBAF①当4时，S中直线的斜率为ab；②S中所有直线均经过一个定点；③当ab时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为b2；⑤S中的所有直线可覆盖整个平面．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知1cos()cos(),(,),63432求：（Ⅰ）2sin；（Ⅱ）1tantan．17．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，且AD=DC=CB=12AB．直角梯形ACEF中，1//2EFAC，FAC是锐角，且平面ACEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BCAF；（Ⅱ）若直线DE与平面ACEF所成的角的正切值是13，试求FAC的余弦值．18．（本小题满分12分）已知函数)(,4)(23Rxbxaxxxf在2x处取得极小值．（Ⅰ）若函数)(xf的极小值是4，求)(xf；（Ⅱ）若函数)(xf的极小值不小于6，问：是否存在实数k，使得函数)(xf在,3kk上单调递减.若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）已知椭圆)0(1:2222babyaxC的右焦点为F（1,0），设左顶点为A，上顶点为B,且BFABFBOF，如图．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若)0,1(F，过F的直线l交椭圆于NM,两点，试确定FNFM的取值范围．20．（本小题满分13分）某市质监部门对市场上奶粉进行质量抽检，现将9个进口品牌奶粉的样品编号为1，2，3，4，…，9；6个国产品牌奶粉的样品编号为10，11，12，…，15，按进口品牌及国产品牌分层进行分层抽样，从其中抽取5个样品进行首轮检验，用),(jiP表示编号为ji,)151(ji的样品首轮同时被抽到的概率．（Ⅰ）求)15,1(P的值；（Ⅱ）求所有的),(jiP)151(ji的和．21．（本小题满分13分）已知函数xnxxfn)(，（x＞0，),1Znn，以点))(,(nfnn为切点作函数)(xfyn图像的切线nl，记函数)(xfyn图像与三条直线nlnxnx,1,所围成的区域面积为na。（Ⅰ）求na；（Ⅱ）求证：na＜231n；（Ⅲ）设nS为数列na的前n项和，求证：nS＜95.ABCDEFM合肥市2014年第一次教学质量检测数学（理）参考答案一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678910BACBACCBDD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．0.841312．201213．－1514．14415．③④三、解答题：本大题共六个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）【答案解析】（Ⅰ）cos()cos()6311cos()sin()sin(2),66234……2分即1sin(2)32，注意到(,)32，故234(,)3，从而23)32cos(，……5分213sin)32cos(3cos)32sin(2sin……7分（Ⅱ）2231sincossincos2cos22tan2231tancossinsincossin22．……12分（或者67321252sin=2165sin,2365cos2cos1tantan=2sin212coscossincossinsincoscossin22=32）17.（12分）【答案解析】（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=12AB，∴AD、BC为腰，取AB得中点H，连CH，易知，四边形ADCH为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形，ACBC，…3分平面ACEF平面ABCD，且平面ACEF平面ABCDAC，BC平面ACEF，而AF平面ACEF，故BCAF．……6分（Ⅱ）连结DH交AC于MD,再连结EM、FM．易知四边形ADCH为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面ACEF平面ABCD，故DM⊥平面ACEF．于是，DEM即为直线DE与平面ACEF所成的角．……9分设AD=DC=BC=a,则MD=a21，aMC23依题意，31tanEMDMDEMaME23在ECMRt中，332323cosaaMEMCEMC∵1//2EFAC=AM，四边形AMEF为平行四边形AFME//EMCFAC33coscosEMCFAC………12分18.（12分）【答案解析】（Ⅰ）232fxxaxb，由4)2(0)2(/ff知442480412baba，解得2,4ab，……4分检验可知，满足题意．)(,442)(23Rxxxxxf．……6分（Ⅱ）假设存在实数k，使得函数)(xf在,3kk上单调递减．设232fxxaxb=0两根为)(,2121xxxx，则22x由'()0fx得),(21xxx)(xf的递减区间为],[21xx由3221ax解得2321ax)(xf的递减区间为]2,232[a由条件有36)2(0)2(12/xxff，解得3,26ab，……10分函数)(xf在2,1上单调递减由231kk11kk1k所以，存在实数1k，满足题意。……12分19.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由已知，)0,(aA，),0(bB，)0,1(F，则由BFABFBOF得：012ab∵122ab∴022aa，解得2a，∴3,422ba所以椭圆134:22yxC……4分（Ⅱ）①若直线l斜率不存在，则1:xl，此时)23,1(M，)23,1(N，FNFM＝49；②若直线l斜率存在，设)1(:xkyl，),(),,(2211yxNyxM，则由134)1(22yxxky消去y得：01248)34(2222kxkxk∴3482221kkxx，341242221kkxx∴FNFM),1(),1(2211yxyx]1)()[1(21212xxxxk＝21149k∵02k∴11102k∴411432k∴493FNFM综上，FNFM的取值范围为]49,3[．……13分20.（13分）【答案解析】（Ⅰ）由分层抽样可知：首轮检验从编号为1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的样品中抽取3个，从编号为10，11，…，15的国产品牌奶粉的样品中抽取2个，故)15,1(P＝26153928CCCC＝91．……4分（Ⅱ）①当91ji时，),(jiP＝3917CC＝121，而这样的),(jiP有29C=36个；②当1510ji时，),(jiP＝151126C，而这样的),(jiP有26C=15个；③当1591ji时，),(jiP＝26153928CCCC＝91，而这样的),(jiP有1619CC=54个．所以，所有的),(jiP)251(ji的和为121×36＋151×15＋91×54＝10．……13分21．（13分）解：（Ⅰ）易知2/1)(xnxfn，切点为)1,(nn，则nl方程为))(1()1(2nxnnny即2)11(:xnyln∴dxxnnxdxxnxnxannnnn)2(]2)11([11=121)11ln(nnn（Ⅱ）构造函数)(xh)1ln(x323121xxx，（x≥0）则)(/xh0111132xxxxx即函数)(xh)1ln(x323121xxx，（x≥0）单调递减，而0)0(h∴0)(xh，等号在0x时取得，∴当x＞0时，)1ln(x＜323121xxx成立∴知)11ln(n＜32)1(31)1(211nnn∴na=121)11ln(nnn＜231n（Ⅲ）na＜231n＜)121121(32411312nnn∴当1n时，1aSn=31＜95；当2n时，nkknkknaa