坐标系与参数方程典型例题(含高考题----答案详细)

第1页（共5页）选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：①理解坐标系的作用.②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换).0(,yy0),(x,x:的作用下，点P(x,y)对应到点)y,x(P，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离OM叫做点M的极径，记为；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为。有序数对),(叫做点M的极坐标，记为M),(.极坐标),(与)Zk)(2k,(表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.4.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定20,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是r；在极坐标系中，以)0,a(C(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2acos；在极坐标系中，以)2,a(C(a0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是2asin；7.在极坐标系中，)0(表示以极点为起点的一条射线；)R(表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0a)(0,a(A，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是acos.8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数),t(gy),t(fx并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9．圆222r)by()ax(的参数方程可表示为)(.rsinby,rcosax为参数.椭圆1byax2222(ab0)的参数方程可表示为)(.bsiny,acosx为参数.抛物线2pxy2的参数方程可表示为)t(.2pty,2ptx2为参数.经过点)y,x(MooO，倾斜角为的直线l的标准式参数方程可表示为.tsinyy,tcosxxoo（t为参数）。10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.三、基础训练：1.在平面直角坐标系中，方程1yx22所对应的图形经过伸缩变换3yy2x,x后的图形所对应的方程是_________________.2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换yy3x,x后，曲线C变为曲线9y9x22，则曲线C的方程是_________________.)0x(xytan,siny,cosx,yx222第2页（共5页）3．在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3xy变为曲线sinxy的伸缩变换是_________________.4．在极坐标系中，过点)6,4(，并且和极轴平行的直线的极坐标方程是___________________.5．在极坐标系中，圆心在)4A(1,，半径为1的圆的极坐标方程是_______________________.6.直角坐标方程116y16x22化为极坐标方程是_________________________.7.极坐标方程4sin2cos化为直角坐标方程是_______________________.8.在极坐标系中，极点到直线22)4(sin的距离是____________.9．极坐标系内，曲线2cos上的动点P与定点)2,1(Q的最近距离等于____________.10．柱坐标)1,32,2(对应的点的直角坐标是_____________.11.球坐标)3,6,2(对应的点的直角坐标是_______________.12.参数方程)(.cos21y,cosx为参数化为普通方程是_________________________.13.椭圆)(.3siny,5cosx为参数的焦点坐标是_________________________.14．双曲线)t(.t1ty,t1tx为参数的离心率是_________________________.15.曲线)(.siny,cos1x为参数上的点与定点A（-1，-1）距离的最小值是_____________.16.已知369y4x22，则y32x的最小值是_________________.17．点M（x,y）在椭圆14y12x22上，则点M到直线04yx的最大距离为________,此时，点M的坐标是_____________.四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编：1．设bababa则,62,,22R的最小值是（）第3页（共5页）A．22B．335C．－3D．272.在极坐标系中，圆心在()2，且过极点的圆的方程为（）A.22cosB.22cosC.22sinD.22sin3.极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（）ABC．椭圆D5．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为．6．点)0,1(P到曲线tytx22（其中参数Rt）上的点的最短距离为（）（A）0（B）1（C）2（D）27.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为)(33Rttytx参数，圆C的参数方程为)20(2sin2cos2，参数yx，则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为.8．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为4cos4sin，．(Ⅰ)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．五．2014高考真题1．[2014·广东卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．2．[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________．3．[2014·陕西卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点2，π6到直线ρsinθ－π6＝1的距离是________．3．[2014·江苏卷]C．[选修4­4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝1－22t，y＝2＋22t(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．4．[2014·辽宁卷]选修4­4：坐标系与参数方程将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．第4页（共5页）5．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．6．[2014·全国新课标卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义参考答案三、基础训练：1.19422yx；2.122yx；3.yyxx213；4.2sin；5.)4cos(26.162cos2；7.5)2()1(22yx；8.22；9.12；10.)1,3,1(；11.)3,23,21(；12.]1,1[,22xxy13.)0,4(),0,4(21FF；14.2；15.15；16.34；17.)1,3(,24四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编：1.C；2.B；3.B；4.D；5.2；6.B；7.（0，2），228.(Ⅰ)⊙O1和⊙O2的直角坐标方程分别为4)2(22yx和4)2(22yx；(Ⅱ)经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程是x+y=0五、广东省各地市2007年模拟考试中的《坐标系与参数方程》试题选编：1.5;2.41)42()42(22yx;3.2cos;第2页（共5页）4.1;5.47;6.相切