埃伦费斯特定理

埃伦费斯特定理[编辑]量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfesttheorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为[1]；其中，是某个量子算符，是它的期望值，是哈密顿算符，是时间，是约化普朗克常数。埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以，再取趋向于0的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。导引[编辑]假设，一个物理系统的量子态为，则算符的期望值对于时间的导数为薛定谔方程表明哈密顿算符与时间的关系为。其共轭复数为。因为哈密顿算符是厄米算符，。所以，。将这三个方程代入的方程，则可得到。所以，埃伦费斯特定理成立：。实例[编辑]使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。保守的哈密顿量[编辑]思考哈密顿算符：。假若，哈密顿量显性地不含时间，，则，哈密顿量是个常数。位置的期望值对于时间的导数[编辑]试想一个质量为的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是;其中，为位置，是动量，是位势。应用埃伦费斯特定理，。由于，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：。这样，可以得到动量的期望值。动量的期望值对于时间的导数[编辑]应用埃伦费斯特定理，。由于与自己互相交换，所以，。又在坐标空间里，动量算符不含时间：。所以，。将泊松括号展开，。使用乘法定则，。在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力的期望值。经典极限[编辑]取经典极限[2]，，则可得到一组完全的量子运动方程：，。这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：，。取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记为。设定。泰勒展开于：。由于，，。这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：一个是量子态对于位置的不可确定性。另一个则是位势随着位置而变化的快缓。