利用平移、旋转解填空题

静中思动小题速解——利用平移、旋转解填空题中考中的一些填空题乍看起来或计算繁琐，或无从下手.若结合问题本身，利用平移、旋转则往往能有所突破.下面举例说明.一、面积问题1.问题呈现(2017年盐城中考题)如图1，曲线l是由函数6yx在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的.过点(42,42)A与点(22,22)B的直线与曲线l相交于点M、N，则MON的面积为.2.解法探究本题题干清晰，表述简洁，将曲线进行旋转，操作过程明确，但计算多，让学生感到无从下手，要顺利解决本题需学生对函数图象旋转有深刻地理解.3.巧用旋转水到渠成本题常规思路是求出l的解析式，与直线AB的解析式联立方程组，解出M点和N点的坐标，然后再求三角形面积.但若如此，学生就会走入一个“死胡同”即曲线l的解析式利用初中阶段所学的知识无法求解.换个思路：求6yx逆时针旋转之后图象的表达式较为困难，那么可以转而求直线AB绕坐标原点O顺时针旋转45°形成的新的直线解析式.甚至于就图1中由l和直线AB复合图形而言，旋转只会改变图形的位置并不能改变图形的形状和大小，可以直接将这个复合图象顺时针旋转45°，使l恢复成6yx在第一象限的图象.这样一来6yx的解析式便可以直接在解题中使用了.解法如下:如图2，通过计算我们会发现A绕O点顺时针旋转45°后恰好落在y轴上，记该点为'A，如图3.所以直线''AB的解析式为:28yx，它与6yx联立方程组，可以解出'(1,6)M，'(3,2)N.如图4，过点'N作x轴的垂线段'NE，于是''''''MONMONMOBBONSSSS116424822.4.关于方法的再思考初中阶段的解析几何是建立在平面直角坐标系之中的，函数解析式的最终确立也有赖于坐标系的建立方法.建系最初的目的是为了更好的研究点、线之间的关系，并且尝试用代数方法去解决几何问题.根据上面的求解，发现按照题目中的坐标系来求解，这道题中直线的解析式也并不简洁.再观察OA和OB，就会发现OAOB，那么以OA和OB为y轴和x轴可以建立起一个新的直角坐标系，如图5.事实上此时再看图4和图5，其实是一样的图象，只是角度不同.也就是说反比例函数6yx的图象和坐标系都绕原点逆时针旋转了45°，那么l的解析式自然也就回归到6yx.再看如下问题.二、求值问题1.问题呈现如图6，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心是(2,)a(0)a，半径是2，与y轴相切于点C，直线yx被⊙P截得的弦AB的长为23，则a的值是.2.解法探究想解出这道题，不可忽视AB这条割线，它的表达式yx表明这条直线与x轴的夹角为45°.3.平移直线快速解题a即为P点的纵坐标，过点P向x轴作一条垂线，与直线AB交于点D，如图7.那么，P点可以看成由D点向上平移得到.换个思路:将直线AB向上平移PD个单位可得直线l，而P点经过直线l.如图8，根据垂径定理，得3BE.因为⊙P与y轴相切，所以半径2PB.根据勾股定理1PE.因为45PDEAOF，所以PDE是等腰直角三角形;再用一次勾股定理可得2PD，即直线AB向上平移2个单位得直线l.所以直线l的表达式为2yx.当2x时，22y，故22a.三、对解题教学的思考第一道题在中考中是以填空题的形式出现的，并且作为填空题的最后一题颇有一些“压轴”的味道.填空题具有答案明确，不必书写解答过程的特点，因此，填空题考查的目标比较集中，考查的思维比较明确.回到本题，该题是将函数图象与旋转这两个知识点结合在一起考查.笔者经过思考，感到本题除了运用旋转的方法，化难为易之外，并没有其他更好的思路.那么在考试中，学生如果能想到旋转直线，或旋转整个图形，则此题迎刃而解;如若不然，学生在尝试过分析求解l的解析式之后恐怕只能选择放弃.所以，这就要求在日常教学中，教师需要有意识地渗透这样的思维方式.在苏教版八年级下册的内容中学生对旋转的概念主要止于具体几何图形的旋转，并未联系到他们所学的函数.事实上，在八年级上册的第六章中学生已经学习过一次函数相关知识，也会画一次函数的图象了.因此，笔者设想在八年级上学期学习一次函数图象时，特别是正比例函数这种过原点的直线，可以设定如yx的图象经过什么样的位置变化可以变成yx的图象这样的问题，让学生先体验到一个函数图象原来也可以旋转，为后面的学习埋下伏笔.同时在八年级下学习旋转概念时，也可以旧问新提:yx的图象怎样旋转可以得到yx的图象，再进一步提问:由直线2yx怎样可以得到直线2yx，并且引导学生借助画函数图象来解答该问题.题2利用平移的思想解决问题，学生对此接受程度比较高.但是如果让学生独立解决这样的问题，他们往往还是倾向于把题目看成一个几何题，难以结合直线表达式去考虑图形的运动.在教学中遇到这样的问题，教师要提醒学生注意积累.当然一种思维方式不是靠设定一两个问题就能教给学生的.作为教师，我们需要对初中三年所授的内容有一个全盘的考虑和深入分析，这样，在教导学生学习每一个知识点的时候，也能有效地建立起知识点之间的联系，这样学生在解题时才能激发起更多的想法.