同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

1第三篇常微分方程第六章常微分方程函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．第一节微分方程的概念下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．1．1引例引例1一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(yxP处的切线斜率为x2，求这条曲线方程．解设所求曲线方程为()yfx，且曲线上任意一点的坐标为),(yx．根据题意以及导数的几何意义得xdxdy2.两边同时积分得2yxc（c为任意常数）．又因为曲线通过（1，2）点，把1x，2y代入上式，得1c．故所求曲线方程为21yx．引例2将温度为C100的物体放入温度为C0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T成正比，求物体的温度T与时间t之间的函数关系．解依照冷却定律，冷却方程为ktdtdT（k为比例常数），所求函数关系满足0t，100T．以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系．下面我们介绍有关微分方程基本概念．1.2微分方程的基本概念定义1含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方2程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．例如下列微分方程中，（1）13xy；（2）sin0dyyxdx；（3）21()20yyx（4）22221uuxy；（5）cos3dyyxdx．都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．本课程只讨论常微分方程．定义2微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程．一般地，n阶微分方程记为：0),,,,()(nyyyxF．定义3若将()yfx代入微分方程中使之恒成立，则称()yfx是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(yx代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(yx是微分方程的隐式解．定义4微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．引例1中，积分后得到Cxy2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．设微分方程中未知函数)(xyy，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是00yyxx；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00yyxx，10yyxx，上述这些条件叫做初始条件．定义5求解微分方程),(yxfy满足初始条件00yyxx的特解问题称为一阶微分方程的初值问题．记作00),(yyyxfyxx．例1验证atcatcxsincos21是微分方程02xax的解．解atcatcxsincos21的一阶导数x和二阶导数x分别是3atacatacxcossin21，atacatacxsincos2221atcatcasincos212．把x和x代入微分方程中，atcatcasincos2120sincos212atcatca．因此，atcatcxsincos21是微分方程的解．如果1c、2c是任意常数，则解atcatcxsincos21是二阶微分方程02xax的通解．例2已知xexCCy)(21是微分方程0222ydxdydxyd的通解，求满足初始条件40xy，20xy的特解．解由题意得xxexCCCexCCy)(])[(21221，把40xy，20xy分别代入得24121CCC,即2421CC，于是微分方程的特解为xexy)24(．习题6-11．指出下列各微分方程的阶数．（1）dd0xyyx；（2）2()20xyyxy；（3）2yyyyx；（4）2()yyyxy；(5)352cosyyyy；(6)22xydxdy；（7）022CQdtdQRdtQdL；（8）2sindd．42.验证下列函数是所给的微分方程的解．（1）sin,cosxyxyyxx；（2）,20xyeyyy；（3）2221,1yxyxyxyx；（4）2221,(1)2yxyyxyx．3．验证函数1xyCex是微分方程yyx的解，并求满足初始条件02xy的特解．4．写出下列条件确定的曲线)(xyy所能满足的微分方程．（1）曲线在任一点),(yxM处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍．（2）曲线在任一点),(yxM处的切线斜率与该点横坐标成正比．5．英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间，查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料，发现了如下现象：人口出生率是一个常数．在1798年，他发表了《人口原理》一书，其中提出了著名的Malthus人口模型．他假定条件如下：在人口的自然增长过程中，人口增长率与人口总数成正比．t表示时间（变量），x表示人口总数（依赖于时间变化），k表示人口增长率与人口总数之间的比例常数，试用微分方程表达上述条件．6．一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢，渐渐地，小树长高了并且长得越来越快，几年之后，绿荫底下已经可乘凉了；但长到某一高度后，它的生长速度趋于稳定，然后再慢慢降下来．如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比，又与最大高度和目前高度之差成正比，试用微分方程来描述这一过程．（设树生长的最大高度为H(m),在t(年)时的高度为),(th0k的是比例常数）5第二节可分离变量微分方程本节我们讨论的是一阶微分方程),(yxfy的解法．2.1可分离变量微分方程引例微分方程yxedxdy，显然不能直接用积分法求解，但是适当地变形：dxedyexy，此时，方程右边是只含x的函数的微分，方程左边是只含y的函数的微分，对上式积分，得dxedyexy，即Ceexy（C为任意常数）．这就是微分方程的通解．一般地，一阶微分方程),(yxfy，如果能变形为dxxfdyyg)()(的形式，则方程),(yxfy称为可分离变量的微分方程．此处，)(),(ygxf为连续函数．根据以上所述，解可分离变量的微分方程),(yxfy的步骤如下：第一步：分离变量，将方程写成dxxfdyyg)()(的形式；第二步：两端积分：dxxfdyyg)()(；第三步：求得微分方程的通解CxFyG)()(，其中)(),(xFyG分别为)(),(xfyg的原函数．例1求微分方程2dyxydx的通解．解将方程分离变量，得到dyy=xdx2，两边积分，即得12||lnCxy，即2112xCCxeeey．由于1Ce是任意非零常数，又0y也是方程的解，故原方程的通解为2xCey（C为任意常数）．注：变量分离过程中，常将微分方程变形，有时会产生“失解”的现象：6dxxfygdy)()()0)(()()(ygCxFyG．如果存在0y，使得0)(0yg满足微分方程，且包含在通解中，可与通解合并CxFyG)()(．如果0y不包含在通解中，求解微分方程时，必须补上，和通解一起共同构成微分方程的解．例2求微分方程110dyyydx的解．解将方程分离变量，得到110dydxyy，两边积分:110dydxyy，得1ln10yxCy，整理得方程的通解是xcey110（1cec为任意非零常数）．由于1010yy，解得01y，102y也是方程的解．另外，10y包含在通解中，0y不含在通解中，故原方程的解为xcey110（c为任意常数）和0y．例3镭的衰变有如下规律：镭的衰变速率与它的现存量)(tMM成正比．当0t时，0MM．求镭的存量与时间t的函数关系．解由题意得)0(,kkMdtdM．满足初始条件00|MMt．此微分方程为变量分离方程，变量分离，得kdtMdM，积分，得CktMlnln，即ktCeM．7将初始条件00|MMt代入上式，得0MC，故镭的衰变规律为kteMM0．2.2齐次方程如果一阶微分方程中，有些方程不能直接分离变量，但可以通过适当的变量代换，化为可分离变量的微分方程，齐次微分方程就是其中一种．如果),(yxfy可化为xydxdy，的形式，则称此方程为齐次方程．例如微分方程0)(22xydydxyx可化为xyyxdxdy22，即等号右边分子、分母同除以2x，得xyxydxdy21，故此方程为齐次方程．齐次方程的解法：令xyu，则uxy，uxuy，代入齐次方程)(udxduu，即xdxuudu)(，为变量分离方程．例4求微分方程xyxyytan的通解．解令xyu，则uxy，uxuy，代入上式，得uuuxutan，化简，分离变量，得dxxduuu1sincos，8积分，得Cxulnlnsinln，即Cxusin．把xyu回代，得原方程的通解Cxxysin．思考：如何观察一阶微分方程是齐次的？mmkkmkmmmmkkmkmmybyxbyxbxbyayxayxaxadxdy110110，特点：分式中分子与分母的各项中x与y的幂次之和无一例外的“整齐”——m次，则该微分方程是齐次方程．例5求微分方程0)(22xydydxyx的通解．解原方程可化为xyxydxdy21，令xyu，则uxy，uxuy，代入上式，得uuuxu21，化简，分离变量，得dxxudu1，积分，整理，得Cxu||ln22，把xyu回代，得原方程的通解Cxxy||ln222．习题6-21．求下列微分方程的通解．（1）(ln)0xxyy；（2）sind2cosdxyyxx；（3）lnxyyy；（4）(1)d(1)d0yxxy；9(5)yyxdxdy21；(6)2(0).dyxxyyxdx；(7)21yyedxdyx；(8)yttyydtdy321．2．求下列微分方程在初始条件下的特解．（1）0(1),1xxxeyyey；（2）2d(1)d,1xyxxyy；（3）42,1xyxyy；(4)2cosdyyxdx,10xy．3．求下列齐次方程的通解或特解．（1）02222xyyyx；（2）0lnxyyyx；（3）0)(22dyyxxydx；(4)0cos3)cos3sin2(dyxyxdxxyyxyx；（5）02)3(22xydxdyyx，10xy；（6）xyyyx2)2(，21xy．4．作适当的变量代换，求下列微分方程的通解（1）2)(yxdxdy；（2）0)(22xydydxyx；（3）13dyxydxxy；（4）2)(1yxdxdy．5．已知放射性物质镭的衰变速度与该时刻现有存镭量成正比．由经验材料得知，镭经过1600年后，只剩余原始量的一半．试求镭的质量与时间的函数关系．6．假设设备在每一时刻由于磨损而价值损耗的速度与它的实际价格成正比．已知最初价格为0R，试求t年后的价格()Rt．7．由物理学知道，物体冷却的速率与