实验二极限与连续数学实验课件习题答案

天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称极限与连续所属课程名称数学实验实验类型上机操作实验日期2013-3-22班级10数应2班学号291010836姓名吴保石成绩1一、实验概述：【实验目的】通过计算与作图，加深对数列极限概念的理解．掌握用Mathemaica画散点图，以及计算极限的方法．深入理解函数的连续与间断．【实验原理】1．画散点图命令ListPlot命令ListPlot用于绘制坐标平面上一列点（x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的散点图．其基本形式是ListPlot[{{xl，y1}，{x2，y2}，…，{xn，yn}}，选项]或者ListPlot[{y1，y2，--，yn}，选项]当第二种情况时，作出的点列是(1，y1)，(2，y2)，…，(n，yn)，即命令默认自变量ix依次取正整数1，2，…，n，于是，命令ListPiot可以作数列的散点图．ListPlot的选项主要有两个：（i）PlotJoined一True，要求用折线将散点连接起来；‘（ii）PlotStyle---Pointsize[0.02]，表示散点的大小2．产生集合或者数表命令Table常用命令Table产生一个数表或者一个集合，例如，输入Table[j^2，{j，1，5}]则产生前5个正整数的平方组成的数表{1，4，9，16，25}3．连加求和命令Sum连加求和使用命令Sum该命令大致相当于求和数学符号∑．例如，输入Sum[1/i，{i，100}]//N与Sum类似的有连乘求积的命令Product4．多次自复合命令Nest求函数多次自复合用命令Nest．例如，输入Nest[Sin，x，3]则输出将正弦函数自己复合3次的函数Sin[Sin[Sin[x]]]5．求极限命令limit命令Limit用于计算数列或者函数的极限，其基本形式是Limit[f[x]，x一a]其中f(x)是数列或者函数的表达式，x－a是自变量的变化趋势，如果自变量趋向于无穷，用x－Infinity．对于单侧极限，通过命令Limit的选项Direction表示自变量的变化方向．求右极限，x－a+0时，用Limit[f[x]，x一a，Directiion一-1]求左极限，ｘ－a-0时，用Limit[f[x]，x一a，Direction一＋I]求x一＞+∞时的极限，用Limit[f[x]，x一Infinity，Direction一+1]求x一-∞时的极限，用Limit[f[x]，x一Infinity，Directlon一-1]注意：右极限用减号，表示自变量减少趋向于a2【实验环境】WindowsXPSP2精简版Y2.0AMDAthlon(tm)IIX2240Processor2.81GHz,1.87GB的内存Mathemalica5.2【实验方案】1，数列极限的概念2，递归数列3，函数的单侧极限4，两个重要极限5，无群大6，连续与间断二、实验内容：【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1．数列极限的概念通过计算与作图，加深对极限概念的理解．例2.1考虑极限3321lim51xnnPrint[n，，Ai，，0.4－Ai]；For[i=1，i15，i++，Aii=N[(2i^3+1)/(5i^3+1)，10]；Bii=0.4－Aii；Print[i，，Aii，，Bii]]输出为数表输入fn=Table[(2n^3+1)/(5n^3+1)，{n，15}]；ListPlot[fn，PlotStyle{PointSize[0.02]}]观察所得散点图，表示数列的点逐渐接近直线y=0.42．递归数列例2.2设nnxxx2,211．从初值21x出发，可以将数列一项项地计算出来，这样定义的数列称为递归数列，输入f[1]=N[Sqrt[2]，20]；f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]]，20]；f[9]则已经定义了该数列，输入fn=Table[f[n]，{n，20}]得到这个数列的前20项的近似值．再输入ListPlot[fn，PlotStyle{PointSize[0.02]}]得散点图，观察此图，表示数列的点越来越接近直线2y3．函数的单侧极限3例2.3考虑函数arctanyx，输入Plot[ArcTan[x]，{x，-50，50}]观察函数值的变化趋势．分别输入Limit[ArcTan[x]，xInfinity，Direction+1]Limit[ArcTan[x]，xInfinity，Direction-1]输出分别为2和2，分别输入Limit[sign[x]，x0，Direction+1]Limit[Sign[x]，x0，Direction－1]输出分别为-1和14．两个重要极限例2．4考虑第一个重要极限xxxsinlim0，输入Plot[Sin[x]/x，{x，－Pi，Pi}]观察函数值的变化趋势．输入Limit[Sin[x]/x，x0]输出为1，结论与图形一致．例2．5考虑第二个重要极限1lim(1)xxx，输入Limit[(1+1/n)^n，nInfinity]输出为e．再输入Plot[(1+1/n)^n，{n，1，100}]观察函数的单调性5．无穷大例2．6考虑无穷大，分别输人Plot[(1+2x)/(1-x)，{x，-3，4}]Plot[x^3-x，{x，-20，20}]观察函数值的变化趋势．输入Limit[(1+2x)/(1-x)，x1]输出为例2．7考虑单侧无穷大，分别输人Plot[E^(1/x)，{x，-20，20}，PlotRange{-1，4}]Limit[E^(1/x)，x0，Direction+1]Limit[E^(1/x)，x0，Direction-1]输出为图2.8和左极限0，右极限．再输入Limit[E^(1/x)，x0]观察函数值的变化趋势．例2．8输入Plot[x+4*Sin[x]，{x，0，20Pi}]观察函数值的变化趋势．输出为图2.9．观察函数值的变化趋势，当x时，这个函数是无穷大，但是，它并不是单调增加．于是，无穷大并不要求函数单调例2．9输入Plot[x*Sin[x]，{x，0，20Pi}]4观察图中函数值变化趋势．这个函数无界．但是，当x时，这个函数不是无穷大．于是，趋向于无穷大的函数当然无界，而无界函数并不一定是无穷大．6．连续与间断例2．10观察可去间断．分别输入Plot[Tan[x]/x，{x，-1，1}]Plot[(Sin[x]-x)/x^2，{x，-Pi，Pi}]例2．11观察跳跃间断．分别输入Plot[Sign[x]，{x，-2，2}]Plot[(E^(1/x)-1)/(E^(1/x)+1)，{x，-2，2}]例2．12观察无穷间断．分别输入Plot[Tan[x]，{x，-2Pi，2Pi}]Plot[1/(1-x^2)，{x，-3，3}]例2．13观察振荡间断．输入Plot[Sin[1/x]，{x，-Pi，Pi}]Plot[Cos[1/x]，{x，-Pi，Pi}]再输人Limit[Sin[x]，x0]例2·14有界量乘以无穷小．分别输入Plot[x*Sin[1/x]，{x，-Pi，Pi}]Limit[x*Sin[x]，x0]输出的图形为图2.16，极限为0．因为无穷小乘以有界函数得无穷小．【实验结论】（结果）通过依次输入上面的程序，初步在计算机上解决了：数列极限的概念，递归数列，函数的单侧极限，两个重要极限，无群大，连续与间断等一系列相关的问题。【实验小结】（收获体会）通过对极限的求解与画图，可以直观的看到函数图象和变化趋势，对研究极限与连续有很大的帮助，掌握了：1．画散点图命令ListPlot[{{xl，y1}，{x2，y2}，…，{xn，yn}}，选项]；2．产生集合或者数表命令Table[j^2，{j，1，5}]；3．连加求和命令Sum[1/i，{i，100}]//N；4．多次自复合命令Nest[Sin，x，3]；5．求极限命令limitLimit[f[x]，x一a]。三、指导教师评语及成绩：评语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程（实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻）4实验结论正确.5成绩：指导教师签名：批阅日期：附录1：源程序1Clear[f];f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}];xn=Table[f[n],{n,30}]ListPlot[xn,PlotStyle{PointSize[0.02]}]2Clear[f];f[1]=1;f[n_]:=f[n]=N[(f[n-1]+3/f[n-1])/2,20];xn=Table[f[n],{n,30}]ListPlot[xn,PlotStyle{PointSize[0.02]}]3Plot[{Sin[x],Nest[Sin,x,5],Nest[Sin,x,10],Nest[Sin,x,30]},{x,-Pi,Pi}]PlotStyle{{Hue[0.2]},{Hue[0.6]},{Hue[0.8]},{Hue[0.9]}}Clear[f];f[n_]:=Nest[Sin,3,n];xn=Table[f[n],{n,30}]ListPlot[xn,PlotStyle{PointSize[0.02]}]4LimitxSin1x1xSinx,x0Limitx2Expx,xInfinity,Direction1LimitTanxSinxx3,x0Limitxx,x0,Direction1LimitLogCotxLogx,x0,Direction1Limitx2Logx,x0,Direction1LimitxSin1x1xSinx,x0Limitx2Expx,xInfinity,Direction1LimitTanxSinxx3,x0Limitxx,x0,Direction1LimitLogCotxLogx,x0,Direction16Limitx2Logx,x0,Direction1LimitSinxx^11Cosx,x0LimitExpxExpx2xxSinx,x0LimitSinxxCosxx2Sinx,x05Plot[Evaluate[Table[Cos[x]^n,{n,1,30}]],{x,-3Pi,3Pi},PlotRange{-1.2,1.2}]Plot[Evaluate[Table[Cos[0]^n,{n,1,30}]],{x,-3Pi,3Pi},PlotRange{-1.2,1.2}]Plot[Evaluate[Table[Cos[Pi]^n,{n,1,30}]],{x,-3Pi,3Pi},PlotRange{-1.2,1.2}]附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4．实验环境：实验用的软、硬件环境。75．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。对于创新性实验，应注明其创新点、特色。6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。