随机过程在金融中的应用7金融市场中的维纳过程及小事件概率

第七章金融市场中的维纳过程和小概率事件第一节随机环境中的微分第二节两个一般模型第三节罕见和正常事件的描述第四节小概率事件的模型设一资产价格为时间上随机变量第一节随机环境中的微分)(tS],0[Tt则在给定的时间段上资产价格的变化是随机的，其随机微分形式为ttttdWtSbdttSadS),(),(其中tdW表示在无穷小间隔dt的不可测事件，),(tSat和),(tSbt是漂移核扩散因子，且与tI相适应。首页先构建离散时间的随机微分等式Tttttnk100将时间段],0[T插点分成长度为h的n等份,httkk1hTnkhtk则在这些有限间隔内价格的观察值和增量为：)(hkSSk))1(()(hkShkSSknk,,2,1定义一个随机变量kW一、随机微分的构建首页其中][][111kkkkkkSSESSW][1kkSS表示在间隔结束时的可得信息的情况下，完全不可知；反映在第k个间隔内资产价格的真实变化。1k)(tS][1kE表示在间隔结束时的可得信息的期望条件，反映在给出信息集情况下市场参与者的预期。1k1kIkW则是中的一部分，称为“革新项”][1kkSS革新项具有特征1、在间隔结束时未知，而在间隔k结束时可观察到。即知道信息，就能说出其确切值，且1kkkkWWE][kI首页表示在鞅过程中的变化，称作鞅微分。2kW在给出时刻的信息集的情况下，其值是不可测的。31k即对于所有的k0][1kkWE记累加的误差过程：kk100W则kW是鞅原因是][111kkkkWWEWE][][][11111kkkkkWEWEWE11kWW1kW首页对于一个金融市场参与者来说，其在资产价格中的重要信息是。这些不可测的信息连续发生并且能被在线观察到。因此，资产价格的在线运动就由控制。说明kW二、递增误差的大小革新项表示一个不可测的变化，其平方项是不可忽略的。（这与传统微分不同）kWkW2)(kW设的方差为，即kWkV][20kkWEV累积误差的方差nkknkkVWEV1120][且之间不相关，以及干扰项的期望是0。kW首页假设1默顿方法注此假设对证券价格的可变性附加了一个下限，即当间隔被分成越来越小的子间隔，累积误差的方差是正的。也就是越来越频繁的观察证券价格不会消除所有的风险，即资产价格具有不确定性。假设201AV1A独立于nV2AV2A独立于n注这个假设对累积误差的方差附加了一个上限。当时间段被分成越来越小的间隔，更频繁的交易是允许的。这样的交易对系统不会带来非限制的不稳定性。首页在假设1，2，3的前提下，的方差与h有关：假设3注假设表明金融市场的不确定性在一些特殊的阶段是不集中的。无论市场什么时候开始，至少会存在一些可变性。即说明在金融市场上可预测不确定性定理1其中是一个有限的定数，它并不取决于h而取决于时刻的信息.10,33maxAAVVk],,1,[maxmaxnkVVkk3A独立于nhWEkk22][k1kkW首页证明由假设3在所有的间隔上对两边同时求和：由假设2即max3VAVkmax31VnAVknkmax312VnAVAknkmax321VAAn又因hTn则kVVAAThmax32故得出有取决于h的上限.kV首页由假设1得即再假设3hTn得故得出有取决于h的下限.kV11AVknk1maxAnVnAV1maxmax3VAVkhTAAnAAVk1313因此hTAAVhTAAk1332这意味着能找到一个取决于k的定数，使与h成比例：kkVhWEVkkk22][即可表为首页其中在间隔开始给出信息的情况下是不可测的设是任意一个的随机过程定理可以引申为tS其相应的期望存在，则在有限的间隔t内，有kkkkkkkWSSESS][111kW三、随机微分等式为构建时间连续的随机微分等式，对上式右边第一项进行估计：][11kkkSSE是一个资产价格变化的预期，其变化的大小取决于最近的信息集和所考虑的时间间隔的长度。首页它可写成),(][111hIASSEkkkk如果)(A是h的光滑函数，它在0h的泰勒展开式为),()()0,(),(1111hIRhIaIAhIAkkkk其中)(1kIa是在0h时),(1hIAk对h求的一阶导数。),(1hIRk是泰勒展开式的余项。如果0h时间就会跳过，并且在资产价格的预测变化就是0。即0)0,(1kIA同普通微分一样，处理随机微分等式时余项可忽略不计，即0),(1hIRk故hkhIaSSEkkkk),(][111首页其中是漂移项，扩散项。从而有令得即为随机微分等式。][),()1(1)1(hkkhkkhkkhWWhkhIaSS0h)(),()(tdWdttIatdStt),(tIatt返回首页第二节两个一般模型一、维纳过程在连续时间下，正常事件可用维纳过程或布朗运动来建模.（一）讨论维纳过程的方法1设一个随机变量itWTtttn100httii1itW与jtW独立（ji），在某一瞬时，只可能出现h或h两个值之一nittinWW1且则当有弱收敛于一个维纳过程n首页设为一具有有限方差的连续过程，说明维纳过程是在概率意义下，对独立同分布的随机变量的总和求极限得到的，而这些增量的可能出现的结果，当时会变得越来越小。可知维纳过程服从高斯（正态）分布。把维纳过程视为一个连续的平方可积鞅来进行分析20htW且在给定信息集下，具有不可预测的增量，tI则tW的增量服从均值为0、方差为dt2的正态分布即是一维纳过程tW首页（二）利用鞅来定义维纳过程（1）定义1（2）则称是一维纳过程tW设tW是一随机过程，在信息集tI下，满足：tW是一平方可积鞅，且00W，,])[(2stWWEsttstW的轨线随时间t变化是连续的首页对于具有不可预测的增量和随时间连续运动的资产价格，维纳过程是一个很好的描述模型。定义2设TtBt,0,是一随机过程，若满足（1）tB初始值为0，即00B（2）tB的增量是相互独立的即则称为布朗运动。（3）tB在时间],0[Tt内连续（4）增量stBB服从均值为0，方差为||st的正态分布|)|,0(~stNBBsttB首页注维纳过程假定是一个平方可积鞅，没有提到的分布问题；而布朗运动假定服从正态分布。但这两个过程没有差异，这可由著名的Levy定理来说明。定理1在信息集下的任何维纳过程都是布朗运动过程。（三）维纳过程特征（补充内容）特征1在很小的时间间隔内，维纳过程的变化增量为ttWtWt其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取。或dtdW首页特征2特征3维纳过程是连续的。tW任意两个不同时间区间内的值都是相互独立的。tW（因是鞅，而鞅具有不可预测的增量）tWtW在无穷小的间隔内，的变化也是无穷小的tW意味着维纳过程是遵循马尔可夫过程。注期望是正态分布，且方差0][tWEtWDt][tWt][标准差tW首页注2期望在一段较长时间T内，维纳过程服从的正态分布，且有方差0][0WWETTWWDT][0TWWT][0标准差例1假设某资产的价值变化遵循维纳过程，其初始值为25，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为25，标准差为1，那么在两年期结束时，资产价值依然是期望值为25，但标准差是。2即在未来某一时间（时间间隔T），资产价值的期望值等于现值，不确定性由标准差估算。T首页表示附加到S轨迹上的噪声或波动率，且这些噪声或波动率的值为维纳过程的b倍表示S变量在单位时间的漂移率期望值为a（四）一般化的维纳过程（补充内容）基本维纳过程讨论的变量是漂移率为零，方差率为1的过程。下面将维纳过程推广到任意的变量S，则它的定义可以由表示为dWbdWadtdS（a和b是常数）其中adtbdW若在小的时间间隔，则S的变化可表示为tStbtaS其中表示从标准正态分布中的一种随机抽取。首页具有正态分布，且同样若在任意时间间隔T后，则S的变化具有正态分布，且S期望方差taSE][tbSD2][tbS][标准差期望方差aTSET][TbSDT2][TbST][标准差首页因此一般化的维纳过程描述的是的漂移率（单位时间的平均漂移）为a，方差率（单位时间的方差）为的正态分布。这就是说，若零时刻变量的值是S，则在T时刻它变为均值为，标准差为的正态分布。2baTSTb例2假定某公司的现金头寸（以千美元计算）遵循一般性维纳过程，每年的漂移率为20，每年的方差为900。若最初的现金头寸为50，则在六个月月末的现金头寸将具有均值为60，方差为450的正态分布；在第一年末将具有均值为70，方差为900的正态分布。首页（五）伊托过程（补充内容）若一般化的维纳过程中的参数a和b，分别是基础变量S和时间t的函数，即有则称它为伊托过程。dWtSbdttSadS),(),(伊托过程也是一种推广的维纳过程，它的漂移率和方差率是随着时间的变化而变化。在研究基础资产价格的变化时，我们通常用伊托过程来描述。如在研究不支付股息的股票时，其价格的变化特征可用下式表示：SdWSdtdS首页即瞬态漂移率和瞬态方差率都按股票价格的比例变化，这就是最为广泛的描述股价变化的模型，有时称为几何布朗运动模型。此模型的离散时间形式为ttSS其中表示股票价格S在很小的时间区间中的变化；表示从标准正态分布中的一种随机抽取；参数为单位时间内股票的预期收益率，参数为股票价格的波动率，且这两个参数都为常数。St首页ttSS30.015.0例3考虑一种无红利支付的股票，每年的漂移率为30%、预期收益率为15%（以连续复利计），即、，15.030.0dWdtSdS30.015.0或设时间间隔长度为1周或0.0192年，股票价格的初始值为100美元，即0192.0t100S则)0416.000288.0(100S即16.4288.0S表示股票价格的增加是均值为0.288美元，标准差为4.16美元的正态分布的随机抽样值。则股票价格的过程为首页二、泊松过程考虑一种与正常事件明显不同的随机环境，即在一段时间内，一个金融市场所发生的极端事件的总次数，且这些事件都是不可预测的。设表示所发生的极端事件的总次数，tN若只可能出现两种值，或是等于0，意味着没有新的重大事件发生；或是等于1，表示有重大事件发生。tdN表示在无穷小的时间长度dt内tN的增量变化，tdN即可表为dtdtdNt101概率为概率为其中为在时间dt内发生的概率首页则是泊松过程若令tNMtt则tM是一个不连续的平方可积鞅。且0tMEtMEt2tM泊松过程与维纳过程间的比较（1）轨迹不同：tW是连续的，tM是纯跳跃的（2）一次和二次量运动具有相同特征：两个过程的增量方差都比例于小的时间间隔h注首页（3）泊松过程的轨线比维纳过程轨线更规则。泊松过程在大部分时间内保持恒定，尽管有离散的跳跃，但在小的时间间隔，出现跳跃的概率会趋于0，即它的方差有界。因为维纳过程虽显示出无穷小的变化，且这些变化多的不可计量，因此，方差是无界的。由此可知定义维纳过程的积分比定义泊松过程积分困难的多。tTttdWWf0tTttdMMf0一般说泊松过程积分可用Riemann-Stieltjes来定义；维纳过程积分可用Ito积分来表示。返回首页第三节罕见和正常事件的描述设只会出现一些固定的可能值，假设4kWmmkkpwpwpwW,,,