基于参数学习的GARCH动态无穷活动率LEVY过程的欧式期权定价

第34卷第10期系统工程理论与实践V01.34,No.102014年10月SystemsEngineeringTheory＆PracticeOct.,2014==========================================================;========================================================================================================文章编号：1000-6788(2014)10-2465-18中图分类号：F830文献标志码：A基于参数学习的GARCH动态无穷活动率Levy过程的欧式期权定价吴恒煜-二，朱福敏，，s，胡根华.，温金明t（1.西南财经大学金融安全协同创新中心经济信息工程学院，成都611130;2.西南财经大学中国金融研究中心，成都611130;3.纽约州立大学石溪分校应用数学与统计系商学院，纽约11794;4.加拿大麦吉尔大学数学与统计学院，蒙特利尔H3A2K6)摘要在股票价格中引入漂移率、波动率和随机跳跃三种状态，建立动态状态空间模型，并通过局部风险中性定价关系(RNVR)推导无套利定价模型，以非高斯条件ARMA-NGARCH为基准模型，构建S＆P500指数的离散动态Levy过程，并基于序贯贝叶斯的参数学习方法，进行模型估计和期权定价研究.结果表明：动态Levy过程能够联合刻画时变漂移率、条件波动率和无穷活动率等特征，且贝叶斯方法的引入提高了期权隐含波动率的定价精度，同时，无穷活动率模型在期权定价方面具有显著优势.在五类滤波中，无损粒子滤波估计精度最高，速降调和稳态过程(RDTS)的期权定价误差最小，而非高斯模型在收益率预测方面没有表现出显著的差异.关键词动态Levy过程；杠杆效应；粒子滤波；参数学习；期权定价EuropeanoptionpricingforGARCHdynamicinfiniteactivityLevyprocessesbasedonparameterlearningWUHeng-yu'.2,ZHUFu_min'.3,HUGen-hua',WENJin-ming4(1.CollaborativeInnovationCenterofFinancialSecurity,SchoolofEconomicInformationEngineering,SouthwesternUniversityofFinance&Economics,Chengdu611130,China;2.CenterofChineseFinancialStudies,SouthwesternUniversityofFinance&Economics,Chengdu611130,China;3.DepartmentofAppliedMathematics&Statistics,CollegeofBusiness,SUNYatStonyBrook,NewYork11794,USA;4.DepartmentofMathematics&Statistics,McGillUniversity,MontrealH3A2K6,Canada)AbstractInthispaper,weconsiderathree-dimensionstatespacemodelforestablishingadiscrete-timedynamicLevyprocess,includingtime-varyingdrift,conditionalvolatilityandstochasticjumpactivity.Thenweobtaintheequivalentnon-arbitragepricingmodelthroughlocalrisk-neutralvaluationrelationship(RNVR).Takingnon-GaussianARMA-NGARCHmodelasourbenchmark,weconstructadiscretetimedynamicLevyprocesswithGARCHeffectformodelingS&P500index.FurthermorewejointlyestimatetheparametersofthemodelandstudytheoptionpricingperformancebasedonBayesianlearningapproach.ResearchresultsshowthatourdynamicLevyprocesscandepictthetime-varyingdriftrate,conditionalvolatilityandinfiniteactivitystyles.Meanwhile,Bayesianapproachimprovestheoptionvaluationabilityofourmodel.Infinitejumpmodelsaresignificantsuperiorandincreasethepricingaccuracyofimpliedvolatility.Wealsofindthatunscentedparticlefiltering(UPF)hasthebestestimationperformance,non-Gaussianmodelsintheyieldpredictionareofnosignificantdifference.buttherapidlydecreasingtemperedstableprocesses(RDTS)havenummumerrorsforoptionpricing.KeywordsdynamicLevyprocess:leverageeffects;particLefiltering;parameterlearning;optionpricing收稿日期：2013-03-01资助项目：国家自然科学基金重大研究计划(91218301);国家自然科学基金面上项目(71171168)；教育部人文社会科学重点研究基地重大项目(12JJD790026);国家教育部留学基金(201206980001)；西南财经大学中央高校基本科研业务费专项资金(JBK1407164，JBK12050)；中央高校科研业务费专项资金及四川省教育厅创新团队项目(JBK130401)作者简介：吴恒煜(1970-)，男，广东雷州人，博士后，教授，博士生导师，研究方向：金融工程和金融经济学，E-mail:[e-mail];朱福敏(1985-)，男，江西赣州人，博士研究生，研究方向：金融工程；胡根华(1984-)，男，安徽宿松人，博士研究生，研究方向：金融工程；温金明(1984-)，男，江西赣州人，研究方向：数值线性代数及其应用.24661引言研究期权及其隐含信息对无套利定价理论的发展有着重要意义，期权不仅是进行套期保值和投机套利的需要，也是获取股市未来信息的重要渠道.依据期权定价理论，研究期权价值通常要解决两个基本问题：首先，根据基础资产的统计性质，建立股票价格的风险中性模型；其次，在风险中性模型基础上计算无套利期权价值[1-3].因此，建立基础资产的无套利等价鞅测度的风险中性价格模型，就成为期权定价的关键环节.Andersen[4l和Christoffersen[5]研究表明，股票价格与收益率的随机过程通常包含三项重要特征，即高频率的非连续性跳跃、随时间变化的动态波动率以及体现价格与波动率负相关关系的杠杆效应.因而，股票价格模型必须同时描绘这三类重要的特征，才能准确刻画股票价格的演变路径1.在研究跳跃测度方面，Merton[6l首先提出了有限跳跃的复合泊松过程，以刻画资产价格中存在的少量非连续跳跃.KoLi[7]建立的双指数模型也是一种有限跳跃模型，因这些模型能够捕获资产价格重大的突变（比如违约），故其定价表现优于连续布朗运动.然而，实证研究进一步表明，有限活动率模型无法刻画金融市场存在的大量高频率（甚至无穷多）的小跳跃，为此，Carr[8]等引入了Levy过程用以克服上述模型的不足，其中，无穷活动率Levy过程能够在任意时间内发生无限次跳跃，这些模型包括VarianceGamma[9]，NormalInverseGaussian【10l，Meixner【l1].LogStable[12l.CGMY[13]及GeneralizedHyperbolic过程[14]等等.Carr[8]等研究还发现，无穷活动率模型既可以捕获资产价格的高频跳跃，也可以取代连续扩散.与有限跳扩散模型相比，纯跳模型不仅能够很好地拟合历史价格随机分布，而且具有更加精确的衍生品定价能力.目前，Rosinskj[151，Bianchj[16l，Rachev[17]以及Kim[18l等建立了一类新的Levy过程，称为调和稳态Levy过程(temperedstableprocesses)，其跳跃测度是通过修正Levy稳态的跳跃测度而来.Famaf19!早在1963年就研究了稳态分布在金融市场中的拟合效果，并表明作为正态分布的拓展，稳态分布能够比较全面地描绘随机变量的尖峰、有偏和厚尾特征.但是，Levy稳态分布的尾部较厚，且随机变量不存在二阶以上的变差，使之不便于进行衍生品定价和风险分析，而调和稳态Levy过程既能够刻画尖峰、厚尾和有偏的重要特征，也具有可无限差分的特点.调和稳态模型具有较好的拟合优度，在金融市场的预测、拟合和定价及风险管理方面都具有很好的效果[15-20].在构建时变波动率模型方面，由于股票价格的波动常常呈现集聚性和持续性，动态波动率的建模通常以两种方式进行：一种采用利率期限结构中的随机过程建立随机波动率模型，例如OU模型[211，CIR模型[22]，CKLS模型[23]等等，这些模型在早期被用于随机利率期限结构的研究，后由Hestonl24l等引入随机波动率的研究.随机波动率的股票价格模型往往包含两个或两个以上的随机因子，这使得引起波动率变化与价格变化的因素不完全一致.因此，对于股票价格而言，其波动具有随机性和一定的独立性，相关研究如HL111[3]，Bakshj[251,Bates[26]，Christoffersen[27】等等.随机波动率模型能够很好地刻画波动率的均值回复和持续性，且在拟合方面具有优势，但是，随机模型中波动率是一个随机的隐藏变量，这不仅增加了模型状态的维度，也提高了计量的复杂度.另一种动态模型称为条件波动率模型，这类研究模型较常见于Engle等建立的ARCH[28]和GARCH[29]模型中，用以刻画其自回归异方差效应.与随机波动率不同，这种条件波动率是局部波动率的预测.尽管这两种动态模型下的波动率都具有时变性，但条件波动率是受到历史股票价格随机变量控制的，其变化决定于股票价格的历史信息.因此，条件波动率的变化将是可预测的，如Duanf30l.Heston/31].Barone-Adesj[32l等等.这类刻画条件异方差的GARCH模型不仅能够描绘波动率集聚和回复效应，而且比随机波动率模型更能刻画波动率的长记忆性和高度的持续性，这也正是GARCH波动率模型的优势.在研究波动率与股票价格相关关系方面，Andersen[41和Jacquier[33]在股票收益率和波动率的回归和贝叶斯分析中发现，资产价格和波动率存在显著的负相关关系，即杠杆效应，杠杆效应的存在，说明高波动率更有可能导致市场的暴跌或崩盘，而股票价格的持续下跌则进一步引起波动率的持续高涨.一般来说，随机波动率模型通常假设股票价格的随机因子与波动率的随机因子之间存在负的线性相关关系，条件波动率模型杠杆效应的表现形式则更加多元化，只要具有非对称GARCH效应，该模型就能捕捉到价格与波动率的非对称相关关系，例如Heston等的HN-GARCH模型【31)，Engle等的NGARCH模型【34]，Nelson的EGARCH模型[3