基于奇异值分解的MVDR谱估计

现代信号处理学号：小组组长：小组成员及分工：任课教师：教师所在学院：信息工程学院2015年11月论文题目基于奇异值分解的MVDR方法及其在信号频率估计领域的应用摘要：本文主要是介绍和验证MVDR的算法，此算法应用于信号频率估计的领域中。我们通过使用经典的MVDR算法验证算法的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了改进，在验证这种改进思想的方法可行性时，我们发现基于这种奇异值分解的MVDR方法在信号频率估计上具有提高检测精度的特性，这也说明了这种思想在应用信号频率估计时是可行的。关键词：MVDR算法奇异值分解信号频率估计论文题目（English）MVDRmethodbasedonsingularvaluedecompositionanditsapplicationinsignalfrequencyestimationAbstract:Inthispaper,thealgorithmofMVDRisintroduced,andthealgorithmisappliedtothefieldofsignalfrequencyestimation.ByusingtheclassicalMVDRalgorithmtoverifythefeasibilityofthealgorithm,andthenthroughtheuseoftheideaofsingularvaluedecompositiontoimprovetheMVDRmethod,intheverificationofthefeasibilityofthemethod,wefoundthattheMVDRmethodbasedonthesingularvaluedecompositionhasthecharacteristicsofimprovingthedetectionaccuracyinsignalfrequencyestimation.Italsoshowsthatthisideaisfeasibleintheapplicationofsignalfrequencyestimation.Keywords:MVDRmethodSingularvaluedecompositionSignalfrequencyestimation引言基于奇异值分解的特征提取算法在信号与图像处理等方面有着广泛的应用，国内外很多学者也对此进行了大量的研究。奇异值分解在小波图像边缘检测中的应用，使得离散小波变换的全局尺度选择更加容易。研究表明，奇异值分解具有理想的去相关特性，基于奇异值分解的信号分析方法可以对信号进行重构，较好的从背景噪声中分离出有用信号的特征信息[1]。研究表明，基于奇异值分解的信号特征提取方法的关键在于奇异值特征阶数的选择，如何有效的选取特征值仍是一个有待研究的问题。在许多领域,所研究的信号通常被认为是具有各态历经性的平稳随机信号,很难用确定的数学关系式去描述。随机信号的功率谱能反映信号的频率成分以及各成分的相对强弱,能从频域上揭示信号的节律,是非确定性信号的重要特征。因此,可采用给定的N个样本数据对相应平稳随机信号的功率谱密度进行估计,即功率谱估计(Powerspectrumestimation)。近年来,基于特征分解功率谱估计方法已经在通信、雷达、导航、声纳、地震、射电天文和生物医学工程等科技领域中得到广泛应用。MVDR(minimumvariancedistortionresponse)是J.Capon于1969年研究地震波的空间谱时提出的也称为Capon谱。1971，Lacoss将该方法应用于单一时间序列谱估计,并证明了该方法得出的估计是谱分量的最小方差无偏估计,其思想是将正弦过程看成是频率未知的确定信号,使该信号通过一个FIR系统,而噪声被尽量抑制,该方法在自动语音识别(ASR)等领域已经得到广泛应用[2]。1997年ManoharN.Murthi和BhaskerD.Rao首次将其应用到语音信号的谱包络估计中,解决了LP谱对基音周期较高的浊音信号的频谱估计不准的问题。和LP谱及FFT能量谱相比,MVDR谱具有更小的方差,并且在保留语义信息的同时对说话人信息有一定的抑制作用,这一特点令基于MVDR谱的MFCC（美尔频率倒谱系数）参数比传统的MFCC参数更加适合于关键词检出。（基于最小方差无失真响应谱的语音特征提取）由于奇异值分解的特征提取方法应用的领域越来越广阔，本文提出了一种将奇异值分解的思想应用到MVDR信号频率谱估计的算法，这种基于奇异值分解的MVDR算法与经典的MVDR算法相比较，具有明显提高精度的优点。在与经典的算法对比中，我们将观测矩阵进行了修改，从而将谱估计的推导公式也进行了改变。通过实验仿真和验证，可以证明我们的这种方法是具有可行性的。第一章相关知识及算法流程1.1名词解释MVDR的信号频率谱估计算法的英文全称是MinimumVarianceDistortionlessResponse，中文全称是最小方差无失真响应，通常应用于信号频率估计。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。1.2奇异值分解的知识介绍1.2.1酉矩阵的定义定义：设nnAC，若A满足HHAAAAI，则称矩阵A为酉矩阵。1.2.2奇异值的定义定义：设nnAC，且(0)rankAr。又设HAA的特征值为1210rrn式2-1则称(1,2,,)iiin为A的奇异值。1.2.3矩阵的奇异值分解定理定理：设nnAC，且(0)rankAr，则存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，使得000HUAV，式2-2其中12(,,,).rdiag而(1,2,,)iir为A的正奇异值。将式2-2改写为000HAUV，式2-3则称式2-3为矩阵A的奇异值分解。1.2.4矩阵的奇异值分解定理的证明证：记HAA的特征值如式2-1所示，由于HAA是Hermite矩阵，所以存在n阶酉矩阵V，使得2120(,,,).00HHnVAAVdiag式2-4将V分块为()1212(,)nrnnrVVVVCVC，式2-5将式2-5带入式2-4中，可得21122,0HHHHVAAVVAAV，式2-6于是进一步进行化简可得11112,0HHrVAAVIAV。式2-7记111UAV,由上式知11HrUUI，即1U的r个列向量是两两正交的单位向量，取()2mmrUC，使得12UUU为m阶酉矩阵，即有21220,HHmrUUUUI，则有11121121122100000HHHHHHHUAVUAVUUUAVUAVUAVUU。式2-8至此，也就证明出一个任意的n阶方阵一定会有其对应的奇异值分解。1.3MVDR谱估计知识介绍1.3.1MVDR谱估计方法中常用到的标量函数关于向量的梯度公式***()2()0()2()2()2()2HHHJwcwwJwwccwJwwRwRww式2-91.3.2MVDR滤波器原理考虑有M个权系数（抽头）的横向滤波器（transversalfilter）(或称FIR滤波器)，如下图2-1所示。滤波器的输入为随机过程()xn，输出为1*0()()Miiynwxni式2-10其中，iw表示横向滤波器的权系数。定义输入信号向量和权向量分别为()[()(1)(1)]TxnxnxnxnM011[]TM则输出可表示为*()()()HTynwxnxnw式2-11信号()yn的平均功率可以表示为2{|()|}{()()}HHHPEynEwxnxnwwRw式2-12其中，矩阵MMRC为向量()xn的M维自相关矩阵，即(0)(1)(1)(1)(0)(2){()()}(1)(2)(0)HrrrMrrrMRExnxnrMrMr式2-13图2-1M抽头的FIR滤波器假设滤波器输入信号()xn是复正弦信号加白噪声，为1()()kKjwnkkxnevn式2-14其中，()vn是加性白噪声，k和kw分别是第k个信号复幅度和角频率。复幅度||kjkke包含了正弦信号的振幅||k和初始相位k。设感兴趣的期望信号是角频率为1w的复正弦信号，则选择滤波器权向量w应该遵循的原则是，使复正弦信号1jwne无失真地通过滤波器，而尽量抑制其余频率的信号和噪声。设信号11jwne通过滤波器的响应为1()yn，则1()yn应为11111111(1)***1101111(1)***1011()=()jwnjwnjwjwnjwMMjwnjwjwMMyneweweeweewewew式2-15定义向量11(1)1()[1]jwjwMTawee式2-16则1111()()jwnHynwawe式2-17所以，当权向量满足1()1Hwaw时，可使复正弦信号11jwne无失真地通过滤波器。同时考虑到要使其他复正弦信号和噪声尽量被抑制，滤波器权向量w应满足：（1）约束1()1Hwaw，这是为了使11jwne无失真地通过滤波器。（2）输出平均功率HPwRw最小，达到抑制其他频率信号和噪声的目的。在上面的讨论中，假定了感兴趣的期望信号频率为1w。考虑更一般的情况，设期望无失真通过系统的信号频率为w，且令(1)()[1]jwjwMTawee，此时，滤波器权向量w应满足min,.()1HHwwRwstwaw式2-18这是一个条件极值问题，应用拉格朗日乘子法，构造代价函数为()(1())HHJwwRwwaw式2-19求梯度并令梯度()0Jw，根据梯度的预备知识式2-9，可得()22()0JwRwaw式2-20考虑到相关矩阵R是非奇异的，所以有1()wRaw式2-21将上式代入到约束条件()1Hwaw中，并考虑R的共轭对称性，可解得11()()HawRaw式2-22于是，满足式2-18的最优权向量为11()()()MVDRHRawwawRaw式2-23此时，将式2-23代入式2-12，得滤波器的最小输出功率为11()()()()MVDRHPwPwawRaw式2-24注意，1()()HawRaw是正实数。在上面的推导中，假设可以得到理想的信号相关矩阵R，而在工程实际中，通常采用N个观测样本值(0),(1),,(1)xxxN得到相关矩阵的估计ˆR。因此，用ˆR替换R，则最优权向量的估计可以表示为11ˆ()ˆˆ()()MVDRHRawwawRaw式2-25而MVDR谱估计为11ˆ()ˆ()()MVDRHPwawRaw式2-26在[]内改变w，画出ˆ()MVDRPw曲线。在(1,2,,)lwwlK处，信号和噪声都被滤波器抑制，曲线会出现很低的幅度；而当lww时，频率为lww的信号可以无失真地通过，因此曲线呈现出一个波峰。在上面MVDR信号频率估计方法的推导中，为了叙述方便，引入了图2-1的滤波器结构，在实际进行信号频率估计时，无需构建滤波器，而直接计算式2-26就可以了。1.3.3MVDR信号频率估计算法流程MVDR信号频率估计算法的操作步骤如下：步骤一：由()xn的N个观测样本(0),(1),,(1)xxxN估计样本相关矩阵ˆR。步骤二：在[,]内改变w，画出()11ˆˆ()()MVDRwHPawRaw的曲线()ˆMVDRwP，峰值位置对应的w就是信号角频率的相对强度。基于奇异值分解的MVDR信号频率估计算法的操作步骤如下：步骤一：由观测信号()xn构建观测矩阵A，其中观测矩阵[()(1)