导数的定义及可导条件教案

1导数一、导数的相关概念1、导数的定义：xxfxxfxfx)()(lim)(0000/例1、用导数的定义求下列函数的导数（1）1)(xf（2）xxfx2)(22、单侧导数（左、右导数）：（1）、左导数：xxfxxffxx)()(0lim)(000/（2）、右导数：xxfxxffxx)()(0lim)(000/例2、求函数)1(14)1(2)(2xxxxxfx在点1x处的左导数和右导数。23、函数)(xfy在点xx0处可导的充要条件：左、右导数均存在且相等，即)()(0/0/xxff例3、已知函数xxf)(，试判定)(xf在0x是否可导？若可导，求出其导数值；若不可导数，请说明理由。4、导数的几何意义：曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy例3、求函数1)(2xxf在点3x处的切线方程。注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值，它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值，通常记作xx＇y0或)(0'xf。例5、求函数xxf1)(的导数及其在1x处的导数值。35、可导与连续的关系如果函数)(xfy在点xx0处可导，那么函数)(xfy在点x0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件；即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。例4、已知函数)0(0(x＜xxxxy），试判断)(xfy在0x处的连续性和可导性。6、求函数)(xfy导数的一般方法：（1）、求函数的改变量)()(xfxxfy；（2）、求平均变化率xxfxxfxy)()(；（3）、取极限，得导数/y＝)(xf‘xyx0lim。例5、求xy2的导数及其在点1x处的导数值。例6、已知123xxy，求y＇，2x＇y。4二、几种常见函数的导数1、0'C(C为常数)例如：求下列函数的导数：（1）0y；（2）)(Raay2、1)'(nnnxx()Qn例如：求下列函数的导数：（1）xy2；（2）xy3；（3）xy3、xxcos)'(sin4、xxsin)'(cos5、xx1)'(ln6、axxaln1)'(log例如：求下列函数的导数：（1）xylog37、eexx)('8、axaaxln)('例如：求下列函数的导数：（1）3xy；（2）)21(xy三、函数的和、差、积、商的导数1、法则1两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即'')'(vuvu2、法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即'')'(uvvuuv3、法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)uuvuvvvv例7、求下列函数的导数（1）xyxsin3（2）324xyxx（3）453223xyxx（4）)23)(32(2xyx（5）xxyxcos32（6）9cos2sin510xxxyx5（7）xyxsin2（8）xxycos1（9）xycot（10）yxx31（11）yxxsin12四、复合函数的导数1、复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数。由函数)(ufy与)(xu复合而成的函数一般形式是)]([xfy，其中u称为中间变量。2、复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且xuxuyy'''或f′x((x))=f′(u)′(x)。例8、试说明下列函数是怎样复合而成⑴32)2(xy；⑵2sinxy；⑶)4cos(xy；⑷)13sin(lnxy．例9、写出由下列函数复合而成的函数⑴uycos，21xu；⑵uyln，xuln．例10、求下列函数的导数（1）yxxxcos423（2）)132ln(2xxy（3）21lgxy6（4）xyx1ln2（5）xylnlnln（6）xyln（7）xay21log（8）5)12(xy（9）xxf2sin)(（10）)32(sin2xy（11）32cbxaxy（12）y=51xx（13）2sin1yx（14）xxy221)32(（15）52215113xyxx（16）xyxx3sin2232（17）xxynln（18）xyex3cos2（19）axy5（20）exysin；（21）21lnxy（22）exy22；（23）1ln22eexxy7（24）10sin2xy；（25）3ln2xexy．（26）exxy3sin2（27）xyex3sin2（28）xxysin（29）xxy2cos1lg32（30）xxy2（31）)100)(100()3)(2)(1(xxxxxy（32）)4)(3(2)(1(xxxxy例11、利用导数证明2132132nnnnnnnnCCCC，其中Nn．8同步练习1、数xfy在xx0处可导是它在xx0处连续的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、在曲线122xy的图象上取一点)1,1(及邻近一点yx1,1，则xy等于（）A.)(242xxB.x24C)(42xxD.x43、已知命题:p函数)(xfy的导函数是常数函数；命题:q函数)(xfy是一次函数，则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、设函数)(xf在x0处可导，则hhxfhxx000)(lim等于（）A.)(0‘xfB.0C.)(20‘xfD.)(20‘xf5、设xxxf1，则)0(‘f等于（）A.0B.1C.1D.不存在6、若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是___。7、曲线xy3在点)8,2(P处的切线方程是___________。8、曲线xxxf3)(2在点)10,2(A处的切线斜率k__________。9、两曲线12xy与xy23在交点处的两切线的夹角为___________。10、设)(xf在点x处可导，ba,为常数，则xxbxfxaxfx)()(lim0____。11、已知函数)0()0(1)(2x＞baxxxxfx，试确定ba,的值，使)(xf在0x处可导。12、设)()2)(1()()2)(1()(nxxxnxxxxf，求)1(f＇。13、利用导数的定义求函数)0(xxy的导数。