导数的运用

学院商学院专业会计电算化班级DK11301学生田舒莉论文导数在实际生活中运用主编：田舒莉、罗浩、罗丽萍、曹敏、罗晴、温馨【摘要】导数在函数中的应用，可以求曲线的切线，判断或论证导数的单调性，函数的极值点。而导数在实际生活中运用的也比较多。【关键词】导数切线单调性最值拐点和渐近线导数（导函数的简称）是近代数学的基础，是数学分析课程中最重要的基本概念之一；同时导数知识也是学习高等数学的基础，它不仅可以解决书本上题目，还可以解决一些生活中的问题。同时，在自然科学和工程技术中，还有很多具有这种数学形式量。因此，如果抽去这些问题的实际意义，抓住它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数定义。有关导数在函数中应用的主要类型有：求函数的切线、判断函数拐点和渐近线。的单调性。求函数的极值点和最值、判断函数的凸性以及函数的拐点和渐近线。一、用导数求函数的切线【例一】求曲线ysinx在点（22,4）处的切线斜率，并写出切线方程与法线方程。解：根据导数的几何意义所求切线的斜率为22|cos|)(sin|44'4'1xxxxxyk从而所求切线方程为：y22=22（4x）即0224824yx所求法线的斜率为：2112kk故所求法线方程为：)4(222xy即0222424yx二、用导数判断函数的单调性以导数知识为工具，研究函数单调性，导数提供了简单程序2化的方法，具有普遍的可操作方法。前面已经介绍了用导数来求函数的切线方程。接下来介绍的是用导数来判断函数的单调性。实现的步骤：确定函数的定义域。找出驻点，依驻点将定义域分为减差于小区间。分别讨论区间内'xf的符号并且确定函数的单调性。【例二】确定函数f(x)=3129222xxx的单调区间。解：函数f(x)的定义域为（-∞，+∞），求导数，得)2)(1(6121862'xxxxxf令xf'=0，解得1x=12x=2，列表讨论如下：x（-∞，1）1(1,2)2(2,+∞)xf'+0-0+f(x)↗↘↗所以，函数的单调增加区间为（-∞，1）和(2,+∞)单调减少区间为(1,2).【注：利用函数求导数的单调性的步骤是：（1）确定f(x)的定义域；（2）求导数f’(x)；（3）在函数f(x)的定义域内解不等式f’(x)0和f’(x)0；d确定f(x)的单调区间，若在函数式中含有字母系数，往往要分类讨论。】三、用导数求函数的极值及极值点【例三】求函数f(x)=3223xx的单调区间和极值解：f(x)的定义域为（-∞，+∞）f’(x)=311x令f’(x)=0，的驻点x=0时，导数不存在。列表如下：x（-∞，0）0（0，1）1（1，+∞）xf'+不存在-0+f(x)↗极大值↘极小值-21↗由上表可知，函数f(x)在区间（-∞，0）和（1，+∞）内增加，在（0，1）内减少，极大值f(0)=0，极小值为f(1)=-21。【注：用导数求函数的极值的方法：（1）确定函数的定义域，求导数f’(x)；（2）求f’(x)=0的所有实数根（即驻点）；（3）对每个实数根进行检验，判断在每个根（如x0）的左右侧，导数f’(x)的符号如何变化：如果f’(x)的符号是由正变负，则是f(x0)极大值；如果f’(x0)的符号是由负变正，则f(x0)是极小值。但是同时也要注意如果f(x0)=0的根x=x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是极值。】四、利用导数判断函数的凸性以及函数的拐点求曲线1234xxy的凹凸区间和拐点。解：（1）函数的定义域为（-∞，+∞）。（2）)1(121212,64223'xxxxyxxy（3）令0y得1x=02x=1（4）列表讨论如下（表中“∪”表示曲线凹的，“∩”表示曲线是凸的）x（-∞，0）0（0,1）1（1，+∞）)(xf+0-0+曲线∪拐点（0,1）∩拐点（1,0）∪由上表可知，曲线在区间（-∞，0）和（1，+∞）上是凹的，在区间（0,1）上是凸的，曲线的拐点是（0,1）和（1,0）。五、导数在实际生活中运用例：某产品一个生产周期内总产量为aT分若干批生产，每批需固定费用1000元，每批生产直接消耗费用（不包括固定费用）与产品数量的立方成正比，比例系数为31，问每批生产多少吨时，总费用最省?解：设每批生产xT，x作为自变量，总费用y作为因变量，y关于x的函数关系),311000()(3xxaxyax0其中xa是该生产周期内生产的批数，3311000x是每批生产的费用。'2')311000()(xxaxyaxax2100032令)('xy=0，解得唯一驻点，x0=3301251500x所以当y=3125为最小值，即每批生产3125T时总费用最省。例：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量Y(升关于行驶速度X（千米／小时）的函数解析式可以表示为：880312800013xx（0＜X≤120）已知甲乙两地相距100千米。1)当汽车以40千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析：要求确定从甲地到乙地要耗油量，这就涉及行驶时间与车速，因此根据题意先写出耗油量一车速间关系，再利用导数知识确定其最小值。1)解：当X=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100小时要耗油（8408034012800013）5.175.2（升）所以当汽车以40千米／小时的速度匀速行驶时从甲地到乙地耗油17.5升2)当速度为X千米／小时时，汽车从甲地到乙地行驶了x100小时设耗油量为H（ｘ）依题意得：H(x)=(880312800013xx).x1000=415800128012xx（0＜X≤120）H/(x)=2800640xx=23364080xx（0＜X≤120）令H/(x)=0得x=80当x∈（0,80）时H/(x)＜0H/(x)是减函数当x∈(80,120)时H/(x)＞0H/(x)是增函数当x=80时，H/(x)取到极小值H（80）=11.25因为H(x)在（1,120］上只有一个极值所以它是最小值所以当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量为11.25升。结束语：总之，导数作为一种工具。在解决数学问题时使用非常方便，尤其是可以利用导数来解决函数的单调性、极值、最值、以及切线问题。在导数的应用过程中，要加强对基础知识的理解，重视数学思想方法的应用，达到优化解题思维，简化解题过程的目的，更在于方便学生掌握一种科学的语言和工具，进一步加深对函数的深刻理解和直观认识，提升自己在数学这门学科上的感悟，达到丰富自身能你的效果。尤其是随着经济的迅猛发展，轿车逐渐进入人们的家庭，因此有关车辆的数学的问题也就成为我们所熟悉的背景问题，常常就涉及到如何使用更省钱的问题，而这些例子给了我们很好的启示。【参考文献】：1、高等数学（上）、中南大学出版。2、百度文库日期：2012年4月27日星期五