数理方程与特殊函数复习课

数理方程与特殊函数复习课课程内容概述•第一章一些典型方程和定解条件的推导•第二章分离变量法•第三章行波法与积分法•第四章拉普拉斯方程的格林函数法•第五章贝塞尔函数•第六章勒让德多项式第一章一些典型方程和定解条件的推导•数学物理方程的导出步骤•数学物理方程的类型•定解条件•适定问题及叠加原理数学物理方程的导出步骤•确定所研究的物理量•用数学中的“微元法”从所研究的系统中分割出一小部分，再根据相应的物理规律分析邻近部分与该部分的作用（抓主要作用），这种相互作用在一个短的时间间隔内如何影响物理量。•把这种关系用微分方程表达出来，经过化简整理，得到数学物理方程。三种类型的数理方程•波动方程（双曲型）描述振动过程，关于连续介质（弦、杆、膜、气体等）的振动问题，以及关于电磁振荡等问题。–一维–二维–三维22222uuatx222222222()uuuuatxyz2222222()uuuatxy三种类型的数理方程•热传导方程（抛物型）描述输运过程，研究热传导、扩散、电介质内电磁场的传播，粘性液体流动等问题。–一维–二维–三维222uuatx2222222()uuuuatxyz22222()uuuatxy三种类型的数理方程•稳定场方程（椭圆型方程）描述稳恒过程，即不随时间变化的过程，如固定的电场、磁场、稳定的热场等问题。–二维–三维2222220uuuxyz22220uuxy定解条件•初始条件–对于不同类型的方程初始条件的不同•边界条件–第一类–第二类热传导问题波动问题边界条件的分类以S表示物体的边界，则有：•第一类边界条件•第二类边界条件如果边界条件中的f=0，则称其为齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件。考试要求振动、扩散物理问题的方程及定解条件，能够写出定解问题。方程推导过程不考。重点：振动、扩散问题的边界条件如何确定振动问题的边界条件•固定端•自由端热传导问题的边界条件•边界温度已知•边界有热流流入（或绝热）第一类问题：根据物理现象写出定解问题•弦的横振动问题：两个端点x＝0和x＝a固定，初始时处于静止，初始位移如下图所示，写出相应的定解问题。X＝0X＝aX1HHX2xu长为l的杆，侧面绝缘，两端均有热流流出，x＝0端热流强度为，x＝l端热流强度为杆的初始温度分布为，写出相应的定解问题。1()qt2()qt()xlxdQqdSdtudQkdSdtn01()xukqtx2()xlukqtx流入或流出0端流出，温度梯度方向为正l端流出，温度梯度方向为负0端l端长为l的弦两端固定，开始时在x=c受到冲量k的作用，求此问题的定解问题。0•设有一长为l的棒，表面绝热，包括它的两个端点（x＝0和x＝l），初始温度为f（x），写出此问题的定解问题。解此类题目的思路•1、对给定的物理、力学问题，识别此问题的方程属于哪一类（波动，热传导，拉普拉斯），写出方程，注意，方程中有没有自由项（外力作用）。•2、根据问题所给的条件写出初始条件（波动问题：初位移和初速度；热传导问题：初始温度；拉普拉斯问题：无初始条件）和边界条件（一类边界：固定端，固定温度；二类边界：自由端，热流流入或绝热）重点练习•习题一124第二章分离变量法（在有界域内求解定解问题）•分离变量法的基本思想•分离变量法的基本步骤基本思想将定解问题的解表示成单变量函数之积（变量分离），代入偏微分方程，将方程降阶或化为带有参数的常微分方程，使问题简化，达到求解目的。基本步骤•把解写成由几个只包含一个自变量的函数的乘积的形式•把偏微分方程和边界条件化成几个常微分方程的边值问题•求特征值问题，得到原来方程无穷多个满足边界条件且变量分离的特解•把特解叠加得到无穷级数并利用初始条件决定其中的系数。(,)()()uxtXxTt分离变量法步骤图定解问题偏微分方程齐次边界条件初始条件变量分离常微分方程1常微分方程2条件特征值问题特征值解1解2解1×解2Σ所求解＝用Fourier级数确定叠加系数必须会•一、一（0，l），•一、二，•二、一，•二、二类边界条件的特征值和特征函数•上述边界条件下波动方程，热传导方程、二维拉氏问题(矩形域、扇形域、扇环域）的解的形式(注意：二二类解里多一个u0，λ＝0）•圆域或者圆环域上的两维拉氏问题求解•解题时可以直接使用，不过要写出“根据。。。。的边界条件及分离变量法，可得：”应用分离变量法求解•一维波动•一维热传导•二维矩形域拉普拉斯•二维扇形域拉普拉斯•二维环扇域拉普拉斯•二维圆环域拉普拉斯•二维圆域拉普拉斯利用齐次边界条件，确定特征值问题，确定特征值和特征函数利用周期条件，确定特征值问题，特征值和特征函数一维振动，热传导方程对应的特征值问题，特征值，特征函数系方程边界条件特征值问题特征值特征函数系一维振动一维传导(0,)0(,)0utult(0,)0(,)0xutult(0,)0(,)0xutult(0,)0(,)0xxutult()()0(0)()0XxXxXXl()()0(0)()0XxXxXXl()()0(0)()0XxXxXXl()()0'(0)'()0XxXxXXl2()01,2,....nnln221()020,1,2,....nnln2()00,1,2,....nnln221()020,1,2,....nnln()sin1,2....nnXxxln21()sin20,1,2....nnXxxln21()cos20,1,2....nnXxxln()cos0,1,2....nnXxxln矩形域两维拉氏问题对应的特征值问题，特征值，特征函数系方程边界条件特征值问题特征值特征函数系空间两维拉氏问题（矩形域）(0,)(,)0(,0)()(,)()uyuayuxxuxbx(0,)(,)0(,0)()(,)()xuyuayuxxuxbx(0,)(,)0(,0)()(,)()xuyuayuxxuxbx()()0(0)()0XxXxXXa()()0(0)()0XxXxXXa()()0(0)()0XxXxXXa()()0'(0)'()0XxXxXXa2()01,2,....nnan221()020,1,2,....nnan2()00,1,2,....nnan221()020,1,2,....nnan()sin1,2....nnXxxan21()sin20,1,2....nnXxxan21()cos20,1,2....nnXxxan()cos0,1,2....nnXxxan00xayb(0,)(,)0(,0)()(,)()xxuyuayuxxuxbx两组边界条件可对调圆/扇（环）域拉普拉斯边值问题的特征值、特征函数系区域边界条件特征值问题特征值特征函数系020002100000100()uf(,)(,2)uu00()uf11()uf(,)(,2)uu0()uf00()uf11()uf00uu00uu()1,cos,sin,1,2...nnnn()1,cos,sin,1,2...nnnn()sin,1,2...nnn()sin,1,2...nnn22000,(0,0),(0,0)11,12,21,2211,12,21,22()(),()ttxxtxxttttuauxltuauxltuxuxux边界条件边界条件1(11;22)0(12;21)2,20(,)()()nnnnnuxtuTatXx一维波动、热传导方程Tn由方程的性质而定，对于振动方程2200,natnnucTCe对于热传导方程2,2000,cossinnnnnnucdtTCatDat1(11;22)0(12;21)0022()()()nnxxnnnnnucdxcedeYy矩形域上的二维拉普拉斯方程chshnnnnaxbx若X提供齐次边界条件1(11;22)0(12;21)0022()()()nnyynnnnnucdycedeXx环（圆）域上的二维拉普拉斯方程圆域00,u扇环（扇）域上的二维拉普拉斯方程齐次边界若为扇域通解中待定系数的确定方法---代入定解条件，利用特征函数的正交性求解02()()lnnnCxXxdxl021()()lnnnnDxXxdxla001()lcxdxl001()ldxdxl一维波动方程1(11;22)0(12;21)2,200(,)()(cossin)(),nnnnnnnuxtcdtCatDatXx02()()lnnnCxXxdxl001()lcxdxl221(11;22)0(12;21)2,20(,)()natnnnnuxtcCeXx一维热传导方程1(11;22)0(12;21)2,200()()()nnxxnnnnnucdxcedeYy矩形域上的二维拉普拉斯方程chshnnnnaxbx1(11;22)0(12;21)2,20()()()nnnnyccdYy1(11;22)0(12;21)2,200()()()()nneennnnnycdecedeYy利用正交性求解系数02()()fnnnncdyYydyf求解方程组即可001()fcydyf0001()fcdeydyf02()()fnnnayYydyf求解方程组即可1(11;22)0(12;21)2200()(chsh)()nnnnnnnucdxaxbxYy1(11;22)0(12;21)2,20()()nnnycaYy1(11;22)0(12;21)2,200()()(chsh)()nnnnnnnycdeaebeYy001()fcydyf0001()fcdeydyf利用正交性求解系数将定界条件带入环（圆）域上的二维拉普拉斯方程环域利用正交性求系数将定界条件带入环（圆）域上的二维拉普拉斯方程圆域利用正交性求系数扇环（扇）域上的二维拉普拉斯方程扇环域将定界条件带入联立求解利用正交性求系数0c0d联立求解扇域将定界条件带入利用正交性求系数重点掌握•振动、热传导、拉氏问题齐次、非齐次方程的求解•齐次方程可直接写出形式解•非齐次方程－特征函数法冲量法特解法第二类问题：应用分离变量法求解有界域的定解问题•此类定解问题的特点：–1、方程齐次或非齐次–2、边界条件齐次•边界条件的特点：–一一；一二；二一；二二•周期条件•熟记以上边界/周期条件条件下，方程的特征值和特征函数•二二类边界条件下，解的形式中多一个u0练习•长度为2的弦，两端固定，弦做自由振动，初始位移如图所示，初速度为零。写出定解问题并求解。•由方程和边界条件可得通解为•解定解问题2000,0,00,0,00,0ttxxtttxxxluauAxxltuuxluut冲量法：2000,ttxxxxxltttwaww