复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)

复变函数的孤立奇点及其应用数学科学学院数学与应用数学专业指导教师：xxx摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题.1孤立奇点的定义如果函数)(zf在点a的某一去心邻域aK:Raz0内解析,点a是)(zf的奇点,则称a为)(zf的一个孤立奇点.2孤立奇点的判别方法设函数)(zf在区域D内除有限个孤立奇点nzzzz,,,,321外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re2)(1zfsidzzfnkazCk.一般来说，求函数在其孤立奇点0z处的留数只须求出它在以0z为中心的圆环域内的洛朗级数中101）（zzC项系数1C就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求留数更为有利.例如，如果0z是)(zf的可去奇点，那么0]),([Re0zzfs.如果0z是本质奇点，那就往往只能用把)(zf在0z展开成洛朗级数的方法来求1C.若0z是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数.2.1函数在极点处留数法则1：如果0z为)(zf的简单极点，则)()(lim]),([Re000zfzzzzfszz法则2：设)()()(zQzPzf，其中)(,)(zQzP在0z处解析，如果0)(zP，0z为)(zQ的一阶零点，则0z为)(zf的一阶极点，且)()(]),([Re0zQzPzzfs.法则3：如果0z为)(zf的m阶极点，则)]()[(lim!11]),([Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz）（.2.2函数在无穷远点留数设为)(zf的一个孤立奇点，即)(zf在圆环域zR内解析，则称dzzfiC)(21（RzC：）为)(zf在点的留数，记为]),([Rezfs，这里C是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）.如果)(zf在zR的洛朗展开式为nnnzCzf)(，则有1],[ReCfs.这里，我们要注意，z即使是)(zf的可去奇点，)(zf在z的留数也未必是0，这是同有限点的留数不一致的地方.如果)(zf在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为,,,21nzzz，则)(zf在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.0)(Re)(Re1zfszfsznkazk.3孤立奇点的应用例1指出下列函数在零点z=0的级：（1）)1(22zez（2）)6(sin6633zzz.解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22fezzfz，不难计算,0)0(,)(22)(23fezzzzfz,0)0(,2)2104()(224fezzzfz,0)0(,)24368()(235fezzzzfz,24)0(,)2415611216()()4(24642fezzzzfz）（故0z为函数)1(22zez的四阶零点.由泰勒展式：由展开式)(!1!2112422zznzzenz可知)()!21()1(442222zzzzzezz其中)(!1!211)(222zznzzn在内解析，10）（.故0z为函数)1(22zez的四阶零点.(2)由展开式)()!12()1(!51!31sin3615933znzzzzznn可知)6(sin6633zzz393615936)!12()1(!51!316zznzzzznn)(15zz其中)!12()1(!71!516)(1266nzzznn在z内解析，0560！）（.故0z是函数)6(sin6633zzz的15阶零点.例2证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数)(zf在Raz内解析，0)(af，则必有a的一个领域，使得)(zf在其中无异于a的零点（解析函数零点的孤立性）.分析由于解析函数)(zf不恒为零且0)(af，所以利用)(zf在点a的泰勒展开式可知，总存在自然数1m，使0)()()()1(afafafm，0)()(afm（否则独所有m，0)()(afm，由泰勒定理0)(!)()(0)(mmmazmafzf矛盾）.于是可设a为)(zf的m阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不妨设）a为)(zf的m阶零点)()()(zazzfm，其中Razz在)(内解析，0)(a.因)(z在a处解析，则有0)()(limazaz，可取)(a，存在着0，当az时，)()()(aaz，由三角不等式)()()(zaaz）（便知当az时)()()()(aazza）（即有0）（z，故在a的邻域内使0)(z.例3确定函数)1(/1)(33zezzf的孤立奇点的类型.解因为1!2)(1)1(233333zzzezz1296!31!21zzz，所以0z是分母的六阶零点，从而是函数)(zf的六阶极点.例4判别函数11sin)(zzf的有限奇点的类型.解因为)(zf在1z没有定义，更不解析，所以1z是)(zf的奇点，在10z内，展开)(zf为洛朗级数：53)1(!51)1(!311111sinzzzz012)1()!12(1)1(nnnzn，有无穷多负幂项，故1z是)(zf的本性奇点.例5考察函数11sec)(zzf在点1z的特性.解因为)(2/11,11cos111sec是整数kkzzzk是分母11cosz的零点，所以这些点是11secz的极点..从而知1z是这些极点的极限点)(n，不是孤立奇点.例6求出函数)1/()(44zzzf的全部奇点，并确定其类型.解分母41z有四个一阶零点)3,2,1,0(4)2(keki，它们不是分子的零因此是函数)(zf的一阶极点.又11lim44zzz，所以z是)(zf的可去奇点.例7求出函数zzzf1cot)(的全部奇点，并确定其类型.解容易求得)(为整数kkz是zcot的一阶极点，这是因为0)1(cossinkkzkz.当00zk，时，而zzzzzzzzsinsinlim1cotlim00)!3/(!5/!3/lim3530zzzzzz0，所以，0z是函数)(zf的可去奇点，)(为不等于零的整数kkzk是)(zf的一阶极点.又z是极点kz当k时的极限点，不是孤立奇点.例8求zz1sin2所有孤立奇点处的留数：解：函数zzzf1sin)(2有孤立奇点0和，而且易知在zR内有洛朗展开式532215113111sinzzzzzz！！3151131zzz！！这既可以看成是函数zz1sin2在0z的去心邻域内的洛朗展开式，也可以看成是函数zz1sin2在z的去心邻域内的洛朗展开式.所以!31,1sinRe,!310,1sinRe22zzszzs.参考文献:[1]钟玉泉.复变函数论，高等教育出版社,2003年.[2]王玉玉.复变函数习题全解，中国时代经济出版社,2008年.[3]方企勤.复变函数教程，北京大学出版社,2009年.[4]傅作梅.复变函数的应用，高等教育出版社,1996年.[5]杨巧玲.复变函数与积分变换，机械工业出版社,2002年.