复变函数柯西定理

哈尔滨工程大学复变函数第三章复变函数的积分§3.1柯西定理复变函数积分的定义柯西定理几个引理与不定积分哈尔滨工程大学复变函数 ,()(,)(,)DABCfzuxyivxyC设在复平面上有一条以为起点为终点的有向曲线是定义在上的函数.一、复变函数积分的定义011.:,,,nABnAzzzB将任意分划成个小弧段分割：12.(),kkkkkfzzz作乘积：oxyab1nzkz1kz2z1zkC120aznbz哈尔滨工程大学复变函数11max{},kkkkknSSzz其中，为的长度,()(),()kCCfzCABfzdz若无论如何分割如何取,上述极限存在，则称其为沿曲线从的积分记作0()14.lim()nkknkIfz取极限：()CCfzdz若为闭曲线，则记作113.(),,nnkkkkkkSfzzzz求和：哈尔滨工程大学复变函数()(,)(,),()fzuxyivxyCfzC当在光滑曲线上连续时必沿可积.()CCCfzdzudxvdyivdxudy且().Cfzdz这个定理表明可通过二个二元实变函数的第二型曲线积分来计算()()Cuivdxidy记忆定理哈尔滨工程大学复变函数[()]()fztztdt{[(),()][[(),()]]}(()())uxtytivxtytxtiytdt:()()():Czztxtiytt设光滑曲线()()()[()]()Cfzdzfztztdt终点起点这是由定理及曲线积分的计算法得2.复积分计算的参数方程法()CCCfzdzudxvdyivdxudy{()()}{()()}utivtxtiytdt哈尔滨工程大学复变函数1.(),()()xxtyytt把平面上曲线方程写成参数形式：。2.,,()()()()()zxiyxyztxtiytzztt令代入即可得，即得曲线的复数形式：。写出平面曲线复数参数方程的步骤：010()01zzzztt特别的，已知直线上两点的直线参数方程为0002izrzzre以为圆心为半径的圆的参数方程为哈尔滨工程大学复变函数例121.Redd:1)1;2)1;CCzzzzCiyxi计算和其中为从原点到点的直线段抛物线上从原点到点的弧段2.,1)1;2)1.CzdzCzz计算其中为单位圆的上半圆周,顺时针方向单位圆的下半圆周,逆时针方向哈尔滨工程大学复变函数0103,(),.nCdzCzrzzn是以为中心为半径的正向圆周为整数2,0,0,0.inn0zr积分值与路径圆周的中心和半径无关,这个结果以后会经常用到，请记住！0101d()nzzrzzz哈尔滨工程大学复变函数12124)()()()nnCCCCCCCCfzdzfzdz　分段光滑曲线　　1)()()CCfzdzfzdz2)()()CCkfzdzkfzdz3)[()()]()()CCCfzgzdzfzdzgzdz3.积分性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.哈尔滨工程大学复变函数5),()()()()CCCLfzCfzMfzdzfzdsML　估值定理　　设的长度为　若函数在上满足　　　，则有　　　　　1111111|()()||()||()|nnnkkkkkkkkkkfzzfzfs证明：因为111111|()()|||nnkkkkkkkfzzMzzML两边取极限即可得哈尔滨工程大学复变函数二、几个引理().()0CfzDCDfzdz设是在单连通区域内的解析函数设是内一个多角形的周界，那么有引理1原函数（不定积分）的定义()()()()()D.DFzFzfzFzfz在区域内，如果解析，并满足则称函数为在区域内的一个原函数或不定积分哈尔滨工程大学复变函数(),().fzDfzD若函数是凸区域内的解析函数那么在内有原函数引理2凸区域：连接D内两点的直线也在D内,{(1):[0,1]}DDtttD原函数之间的关系:().fz的任何两个原函数相差一个常数哈尔滨工程大学复变函数引理3(),(),fzDDFzDC设是区域内的解析函数并且在内有原函数则对于内任意起点为，终点为的曲线，有(复积分的Newton-Leibnitz公式)CfzdzFF2(281)d.(sin)02π:.(1cos)CzzzCxaaya求的值其中是连接到的摆线例4哈尔滨工程大学复变函数(),wfzD单连通解域设内区析函数是定理1三、柯西定理1)()0.CCDfzdz为内任一条简单闭曲线(逆时针方向),则00002),,,()zzCDzzCzzzzCfzdz是内任一条连接两点的简单曲线那么沿从到的积分的值由和决定，而不依赖于曲线积分可记作哈尔滨工程大学复变函数2),(),()1CDfzDfzDCD若为的边界在内解析在上连续定理的结论仍成立,.1),(),1CDfzDCD若为的边界在上解析定理的结论仍成立注哈尔滨工程大学复变函数定理2,()()DfzDfzD设为单连通域如果函数是上的解析函数，则在内有原函数.11d.23zzz计算积分例1哈尔滨工程大学复变函数二、复合闭路定理考虑柯西积分定理推广到多连通区域上1212,,,,,,,,,,.nnCCCCCCCCCD设为闭曲线是在内部的闭曲线它们互不包含也互不相交并且由的内部的外部围成多连通区域12,.nCCCCD则称为复合闭路为其内部DC1C2C3CnC哈尔滨工程大学复变函数12()nfzCCCCD设在复合闭路所围成的有界多连通区域内处处解析，则有1)0,fzdz1()()()0nCCCfzdzfzdzfzdz12)()()knCCkfzdzfzdz【复合闭路定理】或写成;kCC其中及均取正方向哈尔滨工程大学复变函数这说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数的奇点.注121,CCnfzdzfzdz)若时10.n)若时，则为简单闭曲线，复合闭路定理即为柯西积分定理所以此定理又称为闭路变形定理.3).fzD若在内不解析，则命题不真哈尔滨工程大学复变函数1,,:||2,:||1.fzxiyCzCz例如设计算其沿曲线的积分12coscos:,:(02)2sinsinxxCCyy解204cossin4sincosdd()CCfzdzxdxydyixdyydx8i22204cos4sinidd哈尔滨工程大学复变函数1CCfzdzfzdz所以20cossinsincosdd11()CCfzdzxdxydyixdyydx2i2220cossiniddfz这是因为不满足解析的条件.哈尔滨工程大学复变函数11d,(),.nCzCazan求为含的任一简单闭路为整数例2例3d,21.zezzzz计算积分为正向圆周和负向圆周所组成例421,C01Cdzzz求为包含与的任何正向简单闭曲线。哈尔滨工程大学复变函数(),():()d0.cfzDfzDCfzz如果函数在单连通域内处处解析那么函数沿内的任何一条封闭曲线的积分为零小结与思考1.重点掌握柯西基本定理:2.复合闭路定理与闭路变形原理是复积分中的重要定理.这个定理是计算闭曲线内部有奇点的积分的有利武器!!!哈尔滨工程大学复变函数0102,01d0,0.()nCzcinznzz对于包含的任何一条正向简单闭曲线都有:常用结论哈尔滨工程大学复变函数1,:||1.cosCdzCzz计算积分其中练习11d,(31)11)||,2)||1.6CzzzCzz计算积分为的正向圆周练习2