复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的第三章习题答案

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）1/8习题三1.计算积分2()dCxyixz,其中C为从原点到点1+i的直线段.解设直线段的方程为yx,则zxix.01x故1220123100()11(1)(1)(1)333Cxyixdzxyixdxixiiixidxiixi2.计算积分(1)dCzz，其中积分路径C为(1)从点0到点1+i的直线段;(2)沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段.解(1)设zxix.01x1011()Czdzxixdxixi(2)设2zxix.01x1220211()3Cizdzxixdxix3.计算积分dCzz，其中积分路径C为(1)从点-i到点i的直线段;(2)沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i;(3)沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i.解(1)设ziy.11y1111Czdzydiyiydyi(2)设ize.从32到222332212iiCzdzdeidei复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）2/8(3)设ize.从32到223212iCzdzdei6.计算积分sinzCzezdz,其中C为0za.解sinsinzzCCCzezdzzdzezdz∵sinzez在za所围的区域内解析∴sin0zCezdz从而20220sin0ziCCizezdzzdzadaeaied故sin0zCzezdz7.计算积分21(1)Cdzzz,其中积分路径C为（1）11:2Cz（2）23:2Cz（3）31:2Czi（4）43:2Czi解：（1）在12z所围的区域内，21(1)zz只有一个奇点0z.12111111()2002(1)22CCdzdziizzzzizi（2）在2C所围的区域内包含三个奇点0,zzi.故22111111()20(1)22CCdzdziiizzzzizi（3）在2C所围的区域内包含一个奇点zi,故32111111()00(1)22CCdzdziizzzzizi（4）在4C所围的区域内包含两个奇点0,zzi,故复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）3/842111111()2(1)22CCdzdziiizzzzizi10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分.(1)20cos2izdz(2)0ziedz(3)21(2)iizdz(4)1ln(1)1izdzz(5)10sinzzdz(6)211tancosizdzz解(1)22001cossin21222iizzdzch(2)002zziiedze(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333iiiiizdzizdizizii(4)222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln(1)(3ln2)1284iiizdzzdzzz(5)11110000sincoscoscossin1cos1zzdzzdzzzzdz(6)222112111221tan1secsectantancos2111tan1tan1t122iiiiizdzzdzzzdztanzzzithh11.计算积分21zCedzz,其中C为(1)1zi(2)1zi(3)2z解(1)221()()zzziziCCeeedzdziezzizizi(2)221()()zzziziCCeeedzdziezzizizi(3)122222sin1111zzziiCCCeeedzdzdzeeizzz16.求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）4/8(1)5zCedzz(2)3cosCzdzz(3)020tan12,()2Czdzzzz解(1)(4)052()4!12zzzCeiidzez(2)(2)03cos2(cos)2!zCzidzziz(3)0'2020tan22(tan)sec()2zzCzzdzizizz17.计算积分331(1)(1)Cdzzz,其中积分路径C为(1)中心位于点1z,半径为2R的正向圆周(2)中心位于点1z,半径为2R的正向圆周解：(1)C内包含了奇点1z∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8zCiidzzzz(2)C内包含了奇点1z,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8zCiidzzzz19.验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)ecos1(esin1).xxxxyxyyyiy解(1)设wui,3223632uxxyxyy0∴复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）5/8223123uxxyyx22666uxxyyy22612uxyx22612uxyy从而有22220uuxy,w满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.(2)设wui,cos1xueysin1xey∴cosxueyxsinxueyy22cosxueyx22cosxueyy从而有22220uuxy,u满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.sinxeyxcosxeyy22sinxeyx22sinxyey22220xy,满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数22uxy,22xxy都是调和函数,但()fzui不是解析函数证明:2uxx2uyy222ux222uy∴22220uuxy,从而u是调和函数.22222()yxxxy2222()xyyxy复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）6/8223222362()xyxxxy223222362()xyxyxy∴22220xy,从而是调和函数.但∵uxyuyx∴不满足C-R方程,从而()fzui不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数()fzui(1)22uxyxy(2)22,(1)0yufxy解(1)因为2uxyxy2uyxyx所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222uuxyxyyxdxdyCyxdxxydyCxdxxydyCyxxyxyC2222()i(2)22xyfzxyxyxyC令y=0,上式变为22()i()2xfxxC从而22()ii2zfzzC(2)2222()uxyxxy22222()uxyyxy用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110xyxuuxyydxdyCdxxdyCyxxxyxxyCxxyxy2222()i(1)yxfzCxyxy由(1)0.f，得C=0复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）7/811fizz23.设12()()()()npzzazaza,其中(1,2,,)iain各不相同，闭路C不通过12,,,naaa,证明积分1()d2π()Cpzzipz等于位于C内的p(z)的零点的个数.证明:不妨设闭路C内()Pz的零点的个数为k,其零点分别为12,,...kaaa1112312121()()()...()...()1()12πi()2πi()()...()111111...2πi2πi2πi111111...1...2πi2πinnkknkkCCnCCCnCCknkzazazazazaPzdzdzPzzazazadzdzdzzazazadzdzaza个zk24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式):设f(z)在闭路C及其外部区域D内解析，且lim()zfzA，则(),,1()d,.2πCfzAzDfAzGiz其中G为C所围内部区域.证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR:Rz，将C与Z包含在内则f(z)在以C及RC为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有R1()()()[-]2πiCCfffzddzz因为()fzz在R上解析，且()1limlim()lim()11fffzz所以，当Z在C外部时，有1()()2πiCffzAdz复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）8/8即1()()2πiCfdfzAz设Z在C内，则f(z)=0，即R1()()0[]2πiCCffddzz故有：1()2πiCfdAz