复变函数与积分变换试题A卷答案

注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第1页）复变函数与积分变换参考答案及评分标准一、单项选择题。（每小题3分，共15分）1、B2、D3、A4、B5、C二、填空题。（每小题3分，共15分）6、0,13i7、28、09、1210、21(2)ss.三、计算下列积分。（本大题共4小题，每小题6分，共18分）11、设C为正向圆周2z，计算积分dzizzzIC))(9(2.解：dzizzzIC))(9(2229ziziz····································（4分）5·····················································（6分）12、设C为正向圆周2z，计算积分dzzzIC1252.解：由于252()1zfzz有两个一级极点1,-1，而这两个极点都在2z内所以2[(),1][(),1]IiResfzResfz································（2分）由规则I，得21523[(),1]lim(1)12zzResfzzz215277[(),1]lim(1)122zzResfzzz因此，372()1022Iii················（6分）13、利用留数计算积分dxxxI4cos21和dxxxI4sin22.注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第2页）解：由于函数2()4izefzz在上半平面内只有一个极点2zi···························（1分）故22e[(),2]4ixedxiRsfzix··························（3分）222lim(2)4izzieiziz22242eiie················································································（5分）所以，122cos42xIdxxe，22sin04xIdxx·······················（6分）四、解答题。（本大题共3小题，每题6分，共18分）14、已知调和函数22uxyxy，求解析函数()fzuiv使()1fii.解：由C-R条件，有2vuyxxy，2vuxyyx················（1分）则()(2)(2)uvfzixyiyxxx2()()(2)xyiixyiiz·····························（3分）∴2()()(2)2zfzfzdziC·························（5分）又∵()1fii∴2iC故2()(1)22iifzz································（6分）15、求函数f(z)=)1(12zez的全部孤立奇点.若为极点，则指出其级数.解：0z及方程10ze的根2(0,1,2,)kzikk，均为函数的奇点··········（3分）又(1)|0,2kkzzzzkeezi为1ze的一级零点，且当0k时00z。这样0z为函数2(1)zze的三级零点。····································（5分）故0z为三级极点，2(0,1,2,)kzikk为一级极点。·················（6分）16、设C为正向圆周1，3sin2()()Cfzdz(1z)，求)(zf.注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第3页）解：3sin2()()Cfzdz2(sin2)|2!zi··············（3分）(4sin2)|zi4sin2iz··························（5分）()8cos2fziz······························（6分）五、(本大题12分)17、将)1(1)(2zzzzf在圆环域（1）10z；（2）z1内展开成洛朗级数.解：当10z时22112(1)(1)zzzzzz212(1)1zz·················（3分）201(12)nnzz12012nnzz···························（6分）当z1时，1||1z22112111(1)1zzzzzz····························（9分）201211()nnzzz230112nnzz···················（12分）六、（本大题共3小题，第18、19题各7分，第20题8分，共22分）18、求函数)1(1)(2sssF的Laplace逆变换.解：21()(1)sFsss···················（3分）故()1cos0Fttt··········19、若)(FF)]([tf，利用Fourier变换的性质，求函数)()3()(tfttg的Fourier变换.解：由线性性质及象函数的微分性质，有F[()]ftF[(3)()]tftF[()]3tftF[()]ft·······················注：1、教师命题时题目之间不留空白；2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第4页）1()3()dFFjd()3()dFjFd············20、利用Laplace变换，求解微分积分方程：tdtyty0)cos()()(，1)0(y.解：原方程可写为()cos()yttyt，·············两边取Laplace变换，2()()11sYssYss，即233111()sYssss，························从而方程的解为21()12ytt.·······················