复变函数在工程上的应用

浅析复变函数在工程中的应用作为一名学习通信工程的学生，我能感受到复变函数在学习中的大量运用，现在正在学习的《信号与系统》中时刻出现复变函数的简单应用。经过查阅，我想从自己熟悉的角度谈一下复变函数在工程中的应用，主要分为两个方面，一个方面是电磁场中的复变函数方法，一个方面是积分变换及其在通信中的应用。导入：在学习大学物理电磁场的过程中，我曾经接触过这样一道题目，题目如下：由于在给某些定边值的静电场问题中，在直角坐标系中无法找到简单形式的试探解。通常采用叠加原理和傅里叶级数来构成一个满足边界条件的试探解，然后运用傅里叶级数的相关知识求出待定系数即可。例如此题中是将𝑉𝑠（x）=𝑉0用傅里叶级数做了展开而𝐴𝑛的求法便是应用复变函数中的傅里叶级数知识，看到这道题后你的第一思路可能是这种不能凑成势能相应形式的题目没有办法解，但是当你深入到复变函数中的傅里叶中的级数展开，你的思路便展开了，由于傅里叶级数可以展开成无数个频率不同，幅度不同的正弦余弦，而正弦余弦形式的解的形式我们是可以解答的，所以我们可以解出这道题，由求出的系数带入到原来的傅里叶级数∅，便可以求出最终解。经过这道题目，我初步了解到了复变函数的初步作用，即它可以提供一种逼近思想，它可以将一个常数经过傅里叶级数展开变成一个由无数多个不同幅度，不同频率的正余弦函数的和，用信号与系统中的分析思想就是由实数域转换到了复频域。复变函数在静电场问题中的应用：在电磁场的学习中，我们在“静电场的标量位”这一章中接触到了复变函数在静电场问题中的应用。如果一个系统为场量和源量分布只与x和y有关的二维静电场系统。因为在二维无源区域内，静电位满足二维拉普拉斯方程，即∇2∅（x，y）=𝜕2(𝑥,𝑦)𝜕𝑥2+𝜕2(𝑥,𝑦)𝜕𝑦2我们发现，此时的点位是一个调和函数，通过复变学习我们已经知道，解析函数的实部和虚部都是调和函数，而且是一对共轭的调和函数。因此，我们可以使用复变函数这一数学工具来解决二维静电场问题。由此在电磁场中引出了复电位的概念，若f（𝑧̇）=u(x,y)+jv(x,y),则𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕𝑥2+𝜕2𝑢(𝑥,𝑦)𝜕𝑦2=0………………（1）𝜕2𝑣(𝑥,𝑦)𝜕𝑥2+𝜕2𝑣(𝑥,𝑦)𝜕𝑦2=0………………（2）只要利用解析函数应满足的柯西-黎曼条件，即𝜕u𝜕𝑥=𝜕𝑣𝜕𝑦，𝜕𝑣𝜕𝑥=-𝜕𝑢𝜕𝑦就可以导出式（1）和（2），可以证明，实部函数和虚部函数的等值线族是相互正交的。由正交特性，可以将平面上的电场强度放在复平面上来考察，也就是可以将E（x,y）写成复数形式𝐸̇（𝑧̇）=−𝜕u（x,y）𝜕𝑥+j𝜕𝑣(𝑥,𝑦)𝜕𝑦=-[𝜕𝑓(𝑧̇)𝜕𝑥]∗,其中𝑓(𝑧̇)便是复电位的概念。利用复变位可以反映静电场分布情况，这是通过与已知静电场问题的解相对比而得到的。如果有一些有复杂边界的静电系统，则不能通过这种对比方法来求复电位，这时编引入了常用的保角变换，利用保角变换可以把一些具有复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统。运用保角运算计算系统的复电位的思路是这样的：将复杂边界的静电系统变换为有简单边界的典型静电系统，由于典型静电系统的复电位容易求解，运用复杂边界与简单边界的关系，求出典型系统的静电位之后，就可以通过反变来得到原系统的复电位了。当然，能够运用这种思想需要的理论基础是黎曼定理和互为单值对应原理。许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换也是一种平面之间的转换关系，它可以将z平面上的一个任意多边形区域变换为w平面的上半平面的一种变换。以上便是平面静磁场问题中的复变函数方法，即运用复电位，保角变换（保角映射），许瓦兹-克瑞斯托弗尔变换等来解决问题。其实，我认为复变函数更多的体现在信号与系统的学习过程中，因为复变函数的思想一致贯穿与信号与系统的学习中，在时域中难以解决的问题通过转换到频域中可以得到更简便的解决方案，而转换到复频域便涉及到了复变函数的应用。连续时间信号的实频域分析和连续时间系统的实频域分析便是是运用傅里叶级数及傅里叶变换。而连续时间信号与连续时间系统的复频域分析便是运用到了拉普拉斯变换的性质。作为复变函数中重要的傅里叶变换和拉普拉斯变换，我们足以看到复变函数在信号即通信中的重要作用。首先，我们引入实频域分析的傅里叶级数和傅里叶变换。针对周期函数，我们引入了傅里叶级数的概念。连续时间信号的分析如下：对于满足Dirichlet条件的周期为𝑇1的周期函数f(t),可以将其分解表示为：f(t)=𝑎0+∑(𝑎𝑛cos𝑛𝑤1𝑡+𝑏𝑛sin𝑛𝑤1𝑡)∞𝑛=1由此得到，满足Dirichlet条件的周期信号，可以分解为基于其各次谐波的不同幅度，不同相位的余弦或正弦信号的叠加，在这种条件下，对满足Dirichlet条件的周期信号，从千变万化的时域波形的关注，转向对各次谐波余弦或正弦函数幅度和相位的关注，从问题的表象到问题的特征，建立周期信号分析的理论模型。由频谱分析我们可以知道信号的幅频和相频特性。对非周期信号的分析我们则采用傅里叶变换，因为在真实的物理世界中严格的周期信号时不存在的，所谓的周期信号只是既定于在某一个时间段，傅里叶级数的重要物理意义就是：非周期信号可以与周期信号建立某种联系，进而采用周期信号的处理思路来处理非周期信号。周期信号与非周期信号并不存在严格的界限，可以通过把非周期信号的周期看成无穷大而将其近似于周期信号，也可以将周期信号中的一部分区间中的取出来构成非周期信号进行分析。对于连续时间系统的实频域分析，我们则引入了系统频率响应，频率响应即为单位冲激响应h(t)的傅里叶变换：H（w）=∫𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡+∞−∞如果知道一个系统的频率响应，便可以对系统的特性有进一步的了解。然后，我们引入复频域分析的拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是针对于不能用傅里叶形式的函数即不满足Dirichlet条件的函数而言的，通过与一个衰减因子𝑒𝜎𝑡相乘而达到绝对可积的条件。对于拉普拉斯逆变换而言，它与拉普拉斯变换构成了信号与系统时域及频域分析的重要数学工具，在求解系统各种响应，卷积计算及系统频率响应过程中都起到了重要的作用。通过以上分析，我们可以看到复变函数在电子领域的重要性，除了电子领域，我还查阅了复变函数在其他领域的应用。首先我了解到了在绕流问题中的复变函数方法，我们总是使用共形映射的方法研究一般剖面的绕流问题，特别是机翼剖面绕流问题。我们只要求出平面稳定绕流的复势，便可导出此绕流的速度分布。而要求出一般剖面绕流的复势，通常先计算对圆柱剖面绕流的复势，然后再求一般剖面绕流区域到圆柱剖面外部区域的共形映射，把上述两个函数复合起来，便可得到对一般剖面绕流的复势，这就是研究任意剖面绕流问题的基本方法。此外，我们还介绍机翼剖面外部共形映射到圆柱剖面外部的函数的近似计算方法以及具有自由边界的一般剖面绕流问题的处理方法。然后我了解到了渗流问题中的复变函数方法，所谓渗流就是流体（液体、气体、含气液体）在多孔介质里的流动。我们主要讨论不可压缩的液体如水与石油在各向同性匀质的土壤”中作平面稳定渗流的情形或作轴对称稳定渗流的情形。下面先把上述一些渗流问题化为复变函数的问题，然后使用共形映射与边值问题等方法来处理这些复变问题。一般弹性理论基本问题在解法上是比较复杂的，因此，常常较多地研究一些特殊的情形，其中最重要的一类就是所谓“平面弹性理论”或叫“弹性理论的平面问题”。我们将导出平面弹性理论的基本方程及其通解的复变函数表示式，然后介绍两种基本边值间题及圆内边值问题的幕级数解法。使用共形映射的方法，可以把一般区域上的基本边值间题转化到特殊区域的情况，从而把复杂间题化为较简便的间题来处理。复变函数在工程中有着普遍的应用，通过学习，我能够掌握基本的复变函数的分析方法以及傅里叶拉普拉斯的基本解决方式，并能够应用到实际工程中，由于数学上的知识不够充分，有很多公式概念难以理解，研究很很久也只是初步认识到了它是解决的什么问题，所以文中并没有插入过多的公式。学习只是基础，应用才是硬道理！！通过这次论文的准备，我真正认识到了复变函数的重要作用。