复变函数第六章学习指导

复变函数第六章学习指导一、知识结构Re,Re,6.16.6sfasf留数的定义留数理论留数的计算定理留数定理定理复变函数沿围线积分计算积分留数的应用实变函数的某些积分判定解析函数的零点分布二、学习要求⒈理解留数的定义；⒉熟练掌握计算留数的方法；⒊理解留数基本定理，熟练掌握用留数理论计算积分。三、内容提要定义6.1设)(a为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：az，若)(zf在az0上解析，则称czzf)d(iπ21为)(zf在点a的或留数，记作),(Resaf或)(Resa，即czzfaf)d(iπ21),(Res（6.1）定义6.2设z为函数)(zf的孤立奇点，c为圆周：z，若)(zf在zR内解析)(R，则称czzf)d(iπ21为函数)(zf在点z的留数，记作),(Resf或)(Res，即czzff)d(iπ21),(Res（6.6）柯西留数定理定理6.1设区域G是由围线c的内部构成（如图），若函数)(zf在G内除含有限个奇点naaa,,,21外解析，且在cGG上除点naaa,,,21外连续，则njjcafzzf1),(Resiπ2)d(（6.2）留数在计算某些实积分上的应用njjzzQzPxxQxP1),)()((Resiπ2d)()(（6.11）njjzkxkzzQzPxxQxP1ii),e)()((Resiπ2de)()((6.14)四、典型例题例1设)1(25)(zzzzf，求)0,(Resf．解法1由（7.1）式得41d)1(25iπ21)0,(Reszzzzzf41dz125iπ21zzzz0)125(zzz2a1•c1a2•c2a3•c3an•cnGc注意：这里的积分路径的半径并非只能取41，只须使半径小于1即可满足定义6.1的条件．解法2因点0z为)(zf的孤立奇点，所以，在310:)31,0(*zN内有zzzzf1)1(25)(0)52(nnzz032nnzz由此得21c，依（6.2）式得2)0,(Resf．解法3因点0z为)(zf的一级极点，所以，依（7.3）式得)1(25lim)0,(Res0zzzzfz2解法4因点0z为)1(25)(zzzzf的一级极点，所以，由（6.4）式得0}])1([25{)0,(Reszzzzf2例2设zzzfe)1()(2，求),(Resf．解取圆周2:zc，由（6.6）式得czzzfde1iπ21),(Res2czzzde1iπ2120例3计算积分1,d12i212azazzz．解首先，弄清被积函数在积分路径内部有无奇点．由122azz求出被积函数的奇点有121aaz与122aaz因1a，所以，12z，又因121zz，故11z，即在积分路径内部只有被积函数的一个奇点1z．其次，经检验，由（6.2）式得),12i2(Resiπ2d12i21212zazzzazzz]))((i2)[(limiπ22111zzzzzzzz1π22a例4计算积分xxxxd1242．解经验证，此积分可用（6.11）式计算．首先，求出1)()(242zzzzQzP在上半平面的全部奇点．令0124zz即22424)12(1zzzzz222)1(zz)1)(1(22zzzz0于是，)()(zQzP在上半平面的全部奇点只有两个：i2321与i2321且知道，与均为)()(zQzP的一级极点．其次，算留数，有))()()(()(lim),)()((Res2zzzzzzzQzPzi34i31))()()(()(lim),)()((Res2zzzzzzzQzPzi34i31最后，将所得留数代入（6.11）式得)],)()((Res),)()((Res[iπ2d1242zQzPzQzPxxxx3π例5计算积分0,de22iaxaxx．解经验证，该积分可用（6.14）式计算．首先，求出辅助函数22ie)(azzfz在上半平面的全部奇点．由022az解得iaz与iaz为)(zf的奇点，而0a，所以，)(zf在上半平面只有一个奇点ia，且ia为)(zf的一级极点．其次，计算留数．有)i)(i(e)i(lim)i,e(Resii22iazazazaazzazzi2eaa最后，由（6.14）式得)i,e(Resiπ2de22i22iaazxaxzxaaeπ容易得到aaxaxxeπdcos22与0dsin22xaxxttttttxxxd12)12,11(Rad)sin,(cosRa2222π20例6计算积分||tanπdznzz（n为正整数）.解sinπtanπcosπzzz以1(0,1,2,)2kzkk为一阶极点，故得12sinπ1Res[tanπ](cosπ)πkkzzkzzz于是由留数定理得k||2tanπd2πiRes[tanπ]2πi()4iπkzznznnzzzn例7已知泊松积分公式20πd2tet，计算积分20sindxx，20cosdxx的值.解因222icosisinxxxe，故只需求出积分2i0dxex的值并取实部和虚部即得所求积分的值.取被积函数为2ize，积分路径C为一半径为R的π4扇形的边界，如图5.6所示．由于2ize在C所围区域内解析，所以2id0zCez即222iiiddd0xzzOAABBOexezez在OA上，x从0变化至R；在AB上，izRe，从0变化至π4；在BO上，πi4zre，r从R变化到0.因此上式成为ππi0i222i22iiii4400didd0RxRereRexeReeer或πi22222icos2sin2i44000(cosisin)ddidRRrRRxxxeereRe当R时，上式右端的第一个积分为ππii2440π1πiπd22222reere而第二个积分的绝对值ππ222icos2sin2isin24400iddRRReReRe22π44π0πd(1)4RRReeRxyARBO图5.6由此可知，当R时，第二个积分趋于0，从而有2201π1π(cosisin)di2222Rxxx故22001cosdsind22xxxx这两个积分称为菲涅耳积分，在现代光学的研究中有着十分重要的应用.例8计算积分105||2d(i)(1)(4)zzzzz.解被积函数的有限远奇点是：i,1,4．注意其中4z在积分区域外，根据留数和定理有Res(i)Res(1)Res(4)Res()0ffff由于1,i在积分圆周内部，由留数定理和无穷远点留数的计算方法105||2d2πi[Res(i)Res(1)](i)(1)(4)2πi[Res(4)Res()]zzffzzzff1055104411Res(4)lim(4)()lim(i)(1)3(4i)zzfzfzzz105211Res()Res,00(1/i)(1/1)(1/4)fzzzz故得105510510||2d12πi2πi[0](i)(1)(4)3(4i)3(4i)zzzzz