复变函数试题及答案1

《复变函数》课程试卷一、单项选择题（每题2分，共20分）1．以下命题正确的是A．1ziziB．零的辐角为零C．3iiD．对任意复数z有sin1z[A]2．若1(3)153xiyii，则A．1,11xyB．1,11xyC．1,11xyD．1,11xy[D]3．设()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析，则A．()uvfzixyB．()uvfzixxC．()uvfziyyD．()uvfziyx[B]4．下列说法正确的是A．如果0()fz存在，则()fz在0z处解析B．如果(,)uxy和(,)vxy在区域D内可微，则()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析C．如果()fz在区域D内处处可导，则()fz在区域D内解析D．如果()fz在区域D内解析，则()fz在区域D内一定不解析[C]5．下列等式中不正确的是A．(1)(21)Lnki（k为整数）B．2LnzLnzLnzC．2zkizee（k为整数）D．22sincos1ii[B]6．设2222()(2)fzxaxyyibxxyy在复平面内处处解析（其中,ab为常数），则A．2,1abB．1,2abC．2,1abD．1,2ab[C]7．设为单位圆周1z，则积分Imzdz的值为A．iB．iC．D．[D]8．级数1!nnnnzn的收敛圆为A．1zeB．zeC．1zD．2ez[A]9．0z是函数2()(1)zfzze的A．一级零点B．二级零点C．三级零点D．四级零点[C]10．设51()sin,fzzz则Re(),0sfzA．1B．15!C．1D．0[D]二、填空题（每空2分，共10分）11．132iArg223k12．设为包围a的任一简单闭曲线，n为整数，则1()ndzza2i或013．(1)ii的主值等于4ln2ln2(cossin)22ei14．函数1ze在0z处的主要部分为，21112!!nzznz在z处的主要部分为0二、解答题15．讨论函数Re()1zfzz在原点的连续性与可导性。解：令(),fzuivzxiy，则22,01xuvxy因,uv在(0,0)处连续，故()fz在(0,0)处连续。又200(,0)(0,0)(0,0)limlim1(0,0)(1)xyxxuxuxuvxxx，故()fz在(0,0)处不可导。16．设()(,)(,)fzuxyivxy在区域D内解析，且2uv。试证()fz在D内必为常数。证：因()fz在D内解析，故,xyyxuvuv已知等式两边分别对,xy求偏导，并用上式得：222(14)0022xyxxxxyyyxuuuuuvuuuuuvuuu同理可得00yxyuvv，故,uv均为常数，进一步有()fz在D内必为常数。17．计算积分312(1)zeIdzizz，其中为不过0和1的任一简单闭曲线。解：①0,1zz均在的外部，3()(1)zefzzz在所围的闭区域上解析，故0.I②0z在内部，1z在外部，由高阶导数公式232012!(1)152!2212zzzzezdeIdzizdzz，其中充分小。③0z在外部，1z在内部，则3311121zzzzezeIdzeizz④0,1zz均在的内部，由多连通区域上的复合闭路定理得52Ie18．（1）将函数21()(1)zfzzz在圆环1z内展为Laurent级数。解：111zz232323001111111()()2(1)(11)nnnnzzfzzzzzzzzzz或221221221()111fzzzzzzzz223001221112nnnnzzzzzz（2）求出函数3sin()zzfzz的奇点并判别它们的类型（包含无穷远点）。352311111()()3!5!3!5!fzzzzzzz所以0z为()fz的可去奇点（不含负幂项），z为()fz的的本性奇点（含无穷多正幂项）。19．利用留数计算实积分2sin1xxdxx解：222Re,2112ixizizzixezezeidxisziixzze故2sinRe.1xxidxxee20．设C区域D内一条正向简单闭曲线，0z为C内一点，如果()fz在D内解析，且00()0,()0fzfz，在D内()fz无其它零点，试证：01()2()Czfzdzzifz证：因()fz以0z为一级极点，故0()()()fzzzz，0()0,()zz在0z解析，000()()()()()()()()()zzzzzfzzzzzfzzzzzzz故0001()11()02()22()CCCzfzzzzdzdzdzzzifzizziz