复杂,源于简单数学解题方法归纳

复杂，源于简单李歆高中数学课本第二册（上）习题6.3第7题：若abRxyRab，，、，且1，则axbyaxby222()（*）（当且仅当x＝y时，取“＝”号）此题看似简单，常常被同学们所忽视，但它的条件和结论特征却非常明显，由此联想到带有条件“xy1”的最值和不等式问题，用（*）作“桥”求解，结果十分凑效，充分显示出课本习题（*）的应用价值。下面略举数例予以说明。例1.已知xyRxy，，且1，求14xy的最小值。解：由（*）得1412129222xyxxyyxxyy()()()等号当且仅当12xy，即xy1323，时等号成立。故()min149xy例2.已知xyzR，，，且xyz1，求149xyz的最小值。直接用（*），难解此题，可将（*）推广为：若abcRxyzR，，，，，，且abc1，则axbyczaxbycz2222()。（**）（当且仅当xyz时，取“＝”号）解：由（**）得149xyzxxyyzz()()()123222()xxyyzz123362等号当且仅当123xyz，即xy1613，，z12时等号成立。故()min14936xyz例3.已知xyR，，且xy1，求1822xy的最小值。解：由（*）得1831312322222xyxy[()()]31312322()xy13142()xy由例1知149xy所以1813927222xy等号当且仅当xy1323，时等号成立故()min182722xy例4.设a，b，x，y皆为正实数，且xy221，求证axbyaybxab22222222初看此题，似乎难以入手，但用（*）思考，即可从根号下部分打开突破口。证明：由（*）得axbyxaybxayb22222222222()即axbyxayb222222同理可得aybxyaxb222222两式相加，得axbyaybxxyabab2222222222()()例5.已知abR，，且ab1，求证ab22115此题与例4不同，条件等式和特征不等式左边根号下部分关系不明显，似乎不能用（*）解答，但考虑到不等式右边根号下部分和等号成立的条件，可对左边根号下部分适当变形。证明：由（*）得aaaa22222151545125154512152[()]()()所以aa21152()同理可得bb21152()两式相加，得ab22115例6.设p0，q0，且pq332。求证：pq2此题证法较多，这里用（*）再给出一种独特的证法。证明：由已知得1212133pq由（*）可得121211213232()pqppqq()()12112114332222ppqqpq14144()pq。（利用pqpq22212()）所以()pq38即pq2