复变函数(第四版)课后习题答案

习题一解答1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。（3）34i25i；（4）i84i21i132i13i1i（1）；（2）；i2i32i32i32i132i132i13解（1）所以132i，Im21Re,1332i22132i1132i331332i，，13131313Arg132iarg132i2kπ2arctan2k,k0,1,2,313ii3i1ii133i35（2）1iii1i(1i)i,i222所以13i3,Rei1i213i5Imi1i22213ii5，313i1i34，35i1i13i22i22213i2kπArgargi1ii1iarctan52kπk012.3（3）34i25i34i25i2i267i2i2i2i2i4726i713i22所以34i25iRe7，2i234i25iIm13，2i134i25i7l3i22i34i25i529，2i234i25i2i34i25i26π2kπArgarg2kπ2arctan7k0,1,2,.2iarctan2672k1,（4）i44i10ii144110ii8224i21ii14ii13i所以Rei84i21i1,Imi84ii213i13i，|i84i21i|1084i21iArgi84i21iargi84i21i2kπarg13i2kπ=arctan32kπk0,1,2,.x1iy31i成立，试求实数x,y为何值。2．如果等式解：由于53ix1iy3x1iy353i53i53i53i5x13y3i3x15y33415x3y4i3x5y181i34比较等式两端的实、虚部，得5x3y4345x3y383x5y1834或3x5y52解得x1,y11。i3．证明虚单位i有这样的性质：-i=i-1=。4．证明1)|z|zz2#6)Re(z)1(zz),Im(z)1(zz)22i2证明：可设zxiy，然后代入逐项验证。|z|5．对任何z，z22是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对那些z值才成立？解：设zxiy，则要使z2|z|2成立有yxy,xy0。由此可得z为实数。22x2y22ixyx2y2，即x226．当|z|1时，求|zna|的最大值，其中n为正整数，a为复数。iarga|a|1|a|，且当ze时，有n解：由于zna|z|nniarga|a|eiarga1aeiarga1|a|zna|en故1|a|为所求。8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。（1）i；（2）-1；（3）1+3i；cos5isin522i（4）1cosisin0π；（5）；（6）cos3isin31i3iπ解：（1）icosπisinπe；222（2）1cosπisinπeiππi132cosπisin2e3π3（3）1i322i；232i2sincos2sin2sinicos2（4）1cosisin2sin22isinπ1222sincos2π2sin2e,(0π)；iπ2222i1i12i1i1i2i1（5）2222cosπisinπ44iπ=2e4cos5isin5cos3isin323ei523ei10/ei9ei19i3/e（6）3