多年高考试题分类汇总_11--第十一章_极限导数与积分_283

轩辕工作室精心汇编1第十一章极限、导数与积分●考点阐释本章为新教材增设内容，是学习高等数学的基础.它在自然科学、工程技术等方面都有着广泛的应用.重点掌握：1.函数极限的四则运算法则及两个重要的极限，并能利用它解决有关问题.2.了解函数在一点处的连续性的定义，从几何直观上理解闭区间上的连续函数有最大值和最小值.3.从几何直观了解可微函数的单调性与其导数的关系，会求一些实际问题的最值.4.掌握微积分的基本公式，理解定积分的几何意义.掌握直角坐标系中图形面积以及旋转体体积的计算方法.●试题类编一、填空题1.（2002天津理，15）直线x=0，y=0，x=2与曲线y=（2）x所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积等于_____.2.（1998上海，3）若233lim321xaxxx，则a=.3.（1996上海理，16）)2144(lim22xxx=.二、解答题4.（2002天津文，21）已知a＞0，函数f（x）=x3－a，x∈［0，+∞）.设x1＞0，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0）.证明：（i）x2≥a31；（ii）若x1＞a31，则a31＜x2＜x1.5.（2002天津理，20）已知a＞0，函数f（x）=xax1，x∈（0，+∞）.设0＜x1＜a2，记曲线y=f（x）在点M（x1，f（x1））处的切线为l.（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）设l与x轴交点为（x2，0），证明：（i）0＜x2≤a1；轩辕工作室精心汇编2（ii）若x1＜a1，则x1＜x2＜a1.6.（2001天津理，21）某电厂冷却塔外形是如图11—1所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m.（1）建立坐标系并写出该双曲线方程.※（2）求冷却塔的容积（精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14）7.（1995上海文，22）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；※（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.8.（1995上海理，22）设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；※（2）若直线x=－t（0＜t＜1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.说明：凡标有※的试题与2002年教学大纲及2003年高考考试说明要求不符，仅供读者自己选用.●答案解析1.答案：2ln3解析：由旋转体的体积公式V=πxxxxd)2(d])2[(202022ln3)2ln22ln2(02.2.答案：4解析：依题意有：3131a=2，∴a=43.答案：－41解析：原式=41)21(lim42lim)4244(lim222222xxxxxxxxx.4.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=3x2，由此得切线l的方程：y－（x13－a）=3x12（x－x1）.（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，图11—1轩辕工作室精心汇编3x2=x1－21312131323xaxxax，（i）)2()(31)32(3131123112131213121312axaxxaxaxxax≥0，∴x2≥a31，当且仅当x1=a31时等号成立.（ii）若x1＞a31，则x13－a＞0，x2－x1=－21313xax＜0，且由（i）x2＞a31，所以a31＜x2＜x1.5.（Ⅰ）解：求f（x）的导数：f′（x）=－21x，由此得切线l的方程：y－（111xax）=－211x（x－x1）.（Ⅱ）证明：依题意，切线方程中令y=0，x2=x1（1－ax1）+x1=x1（2－ax1），其中0＜x1＜a2.（i）由0＜x1＜a2，x2=x1（2－ax1），有x2＞0，及x2=－a（x1－a1）2+a1.∴0＜x2≤a1，当且仅当x1=a1时，x2=a1.（ii）当x1＜a1时，ax1＜1，因此，x2=x1（2－ax1）＞x1，且由（i），x2＜a1，所以x1＜x2＜a1.6.（1）如图11—2建立直角坐标系，xOy，使AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.设双曲线方程为2222byax=1（a＞0，b＞0），则a=21AA′=7.又设B（11，y1），C（9，y2），因为点B、C在双曲线上，所以有图11—2轩辕工作室精心汇编4171122122by①17922222by②由题意，知y2－y1=20.③由①、②、③，得y1=－12，y2=8.b=72.故双曲线方程为984922yx=1；（2）由双曲线方程，得x2=21y2+49.设冷却塔的容积为V（m3），则812328122812|)4961(d)4921(dyyyyyxV.经计算，得V=4.25×103（m3）.答：冷却塔的容积为4.25×103m3.评述：本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.7.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，又已知f′（x）=2x+2∴a=1，b=2.∴f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=31|)31()12(0123201xxxdxxx.评述：本题考查导数和积分的基本概念.8.解：（1）与7（1）相同.（2）依题意，有xxxxxxttd)12(d)12(2021，∴023123|)31(|)31(ttxxxxxx，－31t3+t2－t+31=31t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，∴2（t－1）3=－1，于是t=1－321.轩辕工作室精心汇编5●命题趋向与应试策略1.本章内容在高考中以填空题和解答题为主.主要考查：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积.2.考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标.