四川省遂宁市2015届高三第二次诊断考试数学(理)试题

版权所有：中华资源库．已知集合}sin|{xyyA，{|(3)(21)0}Bxxx，则BAA．]21,3[B．]21,1[C．)21,1[D．)21,3(2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）.甲组乙组909x513y87127已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x、y的值分别为A．2，5B．5，5C．5，7D．8，73．已知复数z满足：izi2（i是虚数单位），则z的虚部为A．i2B．i2C．2D．24．为了得到函数2sin3yx的图象，可以将函数xxy3cos3sin的图象版权所有：中华资源库．向右平移12个单位长B．向右平移4个单位长C．向左平移12个单位长D．向左平移4个单位长5．已知向量)1,(a，)1,2(b，若baba，则实数的值为A．1B．2C．1D．26．设a、b是实数，则“22ab”是“0ab”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．执行如图所示的程序框图，如果输入x，t的值均为2，最后输出S的值为n，在区间[0,10]上随机选取一个数D，则Dn的概率为A．410B．510C．610D．7108．从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是A．590B．570C．360D．2109．已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的离心率为4，过右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于点H，若10MN，则HF=A．14B．16C．18D．2010．若函数)(xf满足对任意的)](,[mnmnx，都有kmxfkn)(成立，则称函数)(xf在区间)](,[mnmn上是“被K约束的”。若函数22)(aaxxxf在区间版权所有：中华资源库)0](,1[aaa上是“被2约束的”，则实数a的取值范围是A．]2,1(B．]23,1(3C．]2,1(D．]2,2(第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。2．试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填答题卷指定横线上）11．圆心在原点且与直线xy2相切的圆的方程为12．某几何体的三视图（单位：cm）如题所示，则此几何体的体积为3cm13．已知定义在R上的函数)(xf满足)()1(1xfxf，且10,101,1)(xxxf，则))211((ff14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75,30，此时气球的高是m60，则河流的宽度BC等于m15．若函数)(xfy满足bxafxaf2)()(（其中,ab不同时为0），则称函数)(xfy为“准奇函数”，称点),(ba为函数()fx的“中心点”。现有如下命题：版权所有：中华资源库①函数()sinx1fx是准奇函数；②若准奇函数)(xfy在R上的“中心点”为))(,(afa，则函数)()()(afaxfxF不是R上的奇函数；③已知函数32()362fxxxx是准奇函数，则它的“中心点”为(1,2)；④已知函数xxxfcos2)(为“准奇函数”，数列}{na是公差为8的等差数列，若717)(nnaf（其中niia1表示niniaaaa121），则2417[()]647faaa其中正确的命题是。（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。答在答题卷指定位置。16．（本小题满分12分）已知函数)(2cossinsin25)(RxxxAxf，其中A、B、C是ABC的三个内角，且满足102)4cos(A，)2,4(A（1）求sinA的值；（2）若3()2fB，且5AC，求BC的值。17．（本小题满分12分）由于我市去年冬天多次出现重度污染天气，市政府决定从今年3月份开始进行汽车尾气的整治，为降低汽车尾气的排放量，我市某厂生产了甲、乙两种不同型号的节排器，分别从两种节排器中随机抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图版权所有：中华资源库所示。节排器等级如表格所示综合得分K的范围节排器等级85K一级品8575k二级品7570k三级品若把频率分布直方图中的频率视为概率，则（1）如果从甲型号中按节排器等级用分层抽样的方法抽取10件，然后从这10件中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；（2）如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，求其二级品数X的分布列及数学期望；18．(本小题满分12分)如图，已知四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，CF∥EA，且222CFABEA版权所有：中华资源库（1）求证：EC平面BDF；（2）求二面角EBDF的余弦值。19．（本小题满分12分）已知数列}{na为等差数列，其中11,a713a（1）求数列}{na的通项公式；（2）若数列}{nb满足11nnnaab，nT为数列}{nb的前n项和，当不等式nnnT)1(8（Nn）恒成立时，求实数的取值范围。20．（本小题满分13分）已知定点(2,0)A，(1,0)F，定直线l：4x，动点P与点F的距离是它到直线l的距离的12.设点P的轨迹为C，过点F的直线交C于D、E两点，直线AD、AE与直线l分别相交于M、N两点。（1）求C的方程；（2）以MN为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。21．（本小题满分14分）已知函数()xfxe（2.71828e是自然对数的底数）,()ln(1)gxx版权所有：中华资源库（1）若()()()Fxfxgx，求()Fx的极值；（2）对任意0,x证明：()(1)fxgx；（3）对任意0,x都有()1axgxx成立，求实数a的取值范围。版权所有：中华资源库届第二次诊断性考试数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：每小题5分，满分50分二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，11．222yx；12．90；13．1；14．120312015．①③④三、解答题（本大题共6个小题，共75分）16．（本小题满分12分）解：（1）因为)2,4(A，所以)43,2(4A，又102)4cos(A，从而1027)4(cos1)4sin(2AA................3分所以544sin)4cos(4cos)4sin(]4)4sin[(sinAAAA...............6分（2）23)21(sin2sin21sin22cossin2)(22xxxxxxf，因为3()2fB所以1sinB2，从而6B或65（舍去）。...............9分由正弦定理知BABCsin5sin，所以8BC...............12分17．（本小题满分12分）②由已知及频版权所有：中华资源库率分布直方图中的信息知，乙型号的节排器中一级品的概率为107，二级品的概率为41，三级品的概率为201，如果从乙型号的节排器中随机抽取3件，则二级品数X可能的值为0，1，2，3...............6分又033327(X0)()464PC11231327(X1)()()4464PC223139(X2)()4464PC33311(X3)()464PC因而X的分布列为X0123P64276427649641...............10分2727913()0123646464644EX..............12分（法二：因为X～)41,3(B，所以43)(XE）18．(本小题满分12分)（法二）以点A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AE所在直线为z轴建立直角坐标系，则版权所有：中华资源库(0,0,0);(0,2,0);(2,0,0);(2,2,0);(2,2,1);E(0,0,2)ABDCF，所以(2,2,0);(2,0,1);(2,2,2)BDBFEC从而有EC·BD=0，EC·BF=0所以,ECBDECBF又因为,BDBFB从而EC面BDF...............6分由（1）知向量EC为平面BDF的法向量设平面EBD的法向量为(,,)nxyz则00nBDnED即220220xyxz；令1z得2,2xy故210cos,10210nECnECnEC...............10分所以二面角EBDF的余弦值为1010...............12分①当n为偶数时，要使不等式nnnT)1(8（Nn）恒成立，只需不等式版权所有：中华资源库)12)(8(nnnnn恒成立即可，∵882nn，等号在2n时取得，∴25...............9分②当n为奇数时，要使不等式nnnT)1(8（Nn）恒成立，只需不等式1582)12)(8(nnnnn恒成立即可，∵nn82是随n的增大而增大，∴1n时，nn82取得最小值6，∴21...............11分综合①②可得的取值范围是)21,(...............12分20．（本小题满分13分）解：（1）(10)F，，设()Pxy，为C上任意一点，依题意有22(1)142xyx∴22143xy...............5分（2）易知直线DE斜率不为0，设直线DE方程为1xty由221143xtyxy，得22(34)690tyty设11()Dxy，，22()Exy，，则122634tyyt，122934yyt...............7分由(20)A，，知AD方程为1100(2)2yyxx，点M坐标为116(4)2yMx，同理，点N坐标为226(4)2yNx，...............9分由对称性，若定点存在，则定点在x轴上。设(0)Gn，在以MN为直径的圆上则2121212126636(4)(4)(4)022(2)(2)yyyyGMGNnnnxxxx，，∴22121221212123636(4)(4)0(3)(3)3()9yyyynntytytyytyy……11分版权所有：中华资源库(9)(4)093(6)9(34)ntttt，2(4)90n，1n或7n∴以MN为直径的圆恒过x轴上两定点(10)，和(70)，...............13分注：1.若只求出或证明两定点中的一个不扣分。2.也可以由特殊的直线l，如1x，得到圆与x轴的交点(10)，和(70)，后，再予以证明。3.用几何法证明也给满分。21．（本小题满分14分）解：（1）