大学数学解决高中数学问题

1.我们知道，一个函数f(x)的导数f'(x)=0的话，使得f'(x)=0的点就是极值点，那么，到底那个是极大(小)值呢？一般的方法是看它左右区间上导数的正负吧。。可是，同济版《高等数学》告诉我们设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f'(x0)=0，f''(x0)不等于0，那么1.当f''(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极大值2.当f''(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值用这种方法，能够快速判断3次函数的极大值或极小值点。以及能求出导数中含有三角函数等难以用快速判断极值点左右区间的正负的函数的极大值户或极小值点。2.湖北省部分重点中学2011届高三第二次联考数学理科11题：已知函数f(x)=a(x+1)(x-a)，若f(x)在x=a处取得极大值，则a的取值范围是______(-1,0)对f(x)=a(x+1)(x-a)求2次导，f''(x)=a(2x+1-a)，因为是极大值，所以f''(a)=a(a+1)0所以(-1,0)什么叫不动点？定义：方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点，其实也就是函数图像y=f(x)和y=x的交点。。利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.数列的差分什么叫数列的差分？简单地说，就是相邻两项的差对任何数列A={a[1],a[2],....},其差分算子Δ(读作delta)定义如下:Δa[1]=a[2]－a[1],Δa[2]=a[3]－a[2],Δa[3]=a[4]－a[3],....,一般地,对任何n有Δa[n]=a[n+1]－a[n].应用这个算子Δ,从原来的数列A构成一个新的数列ΔA,从数列ΔA可得到数列Δ^2A={Δ^2a[n]},这里^2a[n]=Δ(Δa[n])=Δa[n+1]－Δa[n]=a[n+2]－a[n+1]－a[n+1]+a[n]=a[n+2]－2a[n+1]－a[n],称之为数列A的二阶差分,二阶差分Δ^2a[n]的差分,Δ^3a[n]称为三阶差分,二阶及二阶以上的差分称为高阶差分,而称Δa[n]为一阶差分.下面有几个定理都很好理解定理1.1若c和b为常数且对所有n=1,2,3,...有a[n]=cn+b,则:1.对所有n,数列{a[n]}的差分为常数;2.当画a[n]关于n的图形时,这些点都落在一条直线上.定理1.2若Δa[n]=c,其中c是一个与n无关的常数,则有一个a[n]的线性函数(即存在常数b使a[n]=cn+b).定理1.3若数列{a[n]}由一个二次多项式定义,则该数列具有性质:其二阶差分为常数,Δ^2a[n]=c.定理1.4若数列{a[n]}具有性质:对一切n有Δ^2a[n]=c,c为一个常数,则该数列的项遵从二次变化模式,而且表达其通项的公式是一个二次多项式.注:一般地,由k次多项式定义的数列的k+1阶差分为零,反之,若数列{a[n]}的k+1阶差分为零,则存在一个生成该数列的k次多项式.定理：若a[k]a[k+1](或Δa[k]0),则数列A={a[n]}在第k项处是递增的。若a[k]a[k+1](或Δa[k]0),则数列A={a[n]}在第k项处是递减的。若a[k]a[k+1]而a[k]≥a[k-1](或Δa[k-1]≥0而Δa[k]0),数列A在第k项处达到相对极大。若a[k]a[k+1]而a[k]≤a[k-1](或Δa[k-1]≤0而Δa[k]0),数列A在第k项处达到相对极小。若Δa[k]Δa[k-1](Δ^2a[k-1]0).数列A在第k项处图形为上凹,若Δa[k]Δa[k-1](Δ^2a[k-1]0).数列A在第k项处图形为下凹.注意:在k-1处的二阶差分正负决定了k项处的凹凸性.决定凹凸性的另一种看法是:当一阶差分增加时数列为凹,而当一阶差分减小时数列为凸.例题：2010全国新课标数学（理科）压轴题设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.第一问很简单，我们看第二问先介绍普通方法，就是多次求导（这种方法一定要掌握！否则你用洛必达法则把答案弄出来，写不了过程）f(x)=e^x-1-x-ax^2，要证明这个式子在x=0时候不小于0，可以看出f(0)=0我们只需要证明f(x)在[0,+∞)上递增即可求导f'(x)=e^x-1-2ax，可以看出f'(0)仍然等于0，我们只需要证明f'(x)在[0,+∞)上递增即可再求一次导,f''(x)=e^x-2a，显然，这个函数的最小值在x=0时取到，要使f'(x)在[0,+∞)上递增，就是f''(0)=0也即e^0-2a=1-2a=0，也就是a=1/2