大学物理学第8章作业题

8－6一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为Wbπ100sin100.85tΦ，求在s100.12t时，线圈中的感应电动势．分析由于线圈有N匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成tψtΦNξdddd，其中ΦNψ称为磁链．解线圈中总的感应电动势ttΦNξπ100cos51.2dd当s100.12t时，V51.2ξ．8－7有两根相距为d的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以tIdd的变化率增长．若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示．求线圈中的感应电动势．分析本题仍可用法拉第电磁感应定律tΦξdd来求解．由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用SΦSBd来计算（其中B为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1与B2之和）．为了积分的需要，建立如图所示的坐标系．由于B仅与x有关，即()BBx，故取一个平行于长直导线的宽为ｄx、长为d的面元ｄS，如图中阴影部分所示，则xdSdd，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元yxSddd，则上述积分实际上为二重积分）．本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式tlMEMdd求解．解1穿过面元ｄS的磁通量为xdxIμxddxIμΦdπ2dπ2dddd0021SBSBSB因此穿过线圈的磁通量为43lnπ2dπ2dπ2d02020IdμxxIdμxdxIdμΦΦdddd再由法拉第电磁感应定律，有tIdμtΦEdd43lnπ2dd0解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为43lnπ20dIμΦ线圈与两长直导线间的互感为43lnπ20dμIΦM当电流以tldd变化时，线圈中的互感电动势为tIdμtIMEdd43lnπ2dd0试想：如线圈又以速率v沿水平向右运动，如何用法拉第电磁感应定律求图示位置的电动势呢？此时线圈中既有动生电动势，又有感生电动势．设时刻t，线圈左端距右侧直导线的距离为ξ，则穿过回路的磁通量ξfΦS,1dSB，它表现为变量I和ξ的二元函数，将Φ代入tΦEdd即可求解，求解时应按复合函数求导，注意，其中vtξdd，再令ξ＝d即可求得图示位置处回路中的总电动势．最终结果为两项，其中一项为动生电动势，另一项为感生电动势．8－11长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．分析应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是OA棒与OB棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而EOA和EOB则可以直接利用第８－2节例1给出的结果．解1如图（ａ）所示，在棒上距点O为l处取导体元ｄl，则rLlBωllBωEL-rrABAB221dd-lBv因此棒两端的电势差为rLlBωEUABAB221当L＞2r时，端点A处的电势较高解2将AB棒上的电动势看作是OA棒和OB棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中221rωBEOA,221rLBωEOB则rLBLωEEEOBOAAB2218－12如图所示，长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B与转轴平行．求OP棒在图示位置处的电动势．分析如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律tΦEdd计算（此时必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO），也可用lBdlEv来计算．由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．解1由上分析，得lBdOPOPEvlαBlodcos90sinvlθBθωlod90cossinlLθLBωllθBω022sin21dsin由矢量Bv的方向可知端点P的电势较高．解2设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势QOPQOPEEEtΦE0dd显然，EQO＝0，所以221PQBωEEEQOPQOP由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP等效．后者是垂直切割的情况．8－19截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L．分析如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L的方法有两种：1．设有电流I通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式IΦL计算L．2．让回路中通以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动势EL，由公式tIELLd/d计算L．式中EL和tIdd都较容易通过实验测定，所以此方法一般适合于工程中．此外，还可通过计算能量的方法求解．解用方法1求解，设有电流I通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R1＜r＜R2范围内的磁场分布为xNIμBπ20由于线圈由N匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为12200lnπ2dπ2d21RRhINμxhxNIμNNψSRRSB则1220lnπ2RRhNμIψL若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr，则自感将增大μr倍．8－20如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分别为μ1和μ2，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感．（设管的截面很小）分析本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B0，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1B0和μ2B0．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为S1和S2的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．解设有电流I通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为ILNμnlμB111,ILNμnlμB222通过N匝回路的磁链为221121SNBSNBΨΨΨ则自感2211221SμSμlNIψLLL8－23如图所示，一面积为4.0cm2共50匝的小圆形线圈A，放在半径为20cm共100匝的大圆形线圈B的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈B中电流的变化率为－50A·ｓ－1时，线圈A中感应电动势的大小和方向．分析设回路Ⅰ中通有电流I1，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21，则互感M＝M21＝Φ21I1；也可设回路Ⅱ通有电流I2，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12，则21212IΦMM．虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B中有电流I通过，则在线圈A中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A的磁通量Φ≈BS．反之，如设线圈A通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径．解（1）设线圈B有电流I通过，它在圆心处产生的磁感强度RIμNBB200穿过小线圈A的磁链近似为ABAAAASRIμNNSBNψ200则两线圈的互感为H1028.6260RSμNNIψMABAA（2）V1014.3dd4tIMEA互感电动势的方向和线圈B中的电流方向相同．8－24如图所示，两同轴单匝线圈A、C的半径分别为R和r，两线圈相距为d．若r很小，可认为线圈A在线圈C处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C的匝数为N匝，则互感又为多少？解设线圈A中有电流I通过，它在线圈C所包围的平面内各点产生的磁感强度近似为2/322202dRIRμB穿过线圈C的磁通为22/32220π2rdRIRμBSψC则两线圈的互感为2/3222202πdRRrμIψM若线圈C的匝数为N匝，则互感为上述值的N倍．8－26一个直径为0.01m，长为0.10m的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Ω．求：（1）如把线圈接到电动势E＝2.0V的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？*（2）从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？分析单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：（1）如回路自感为L（已知或很容易求得），则该回路通有电流I时所储存的磁能221LIWm，通常称为自感磁能．（2）由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即VwWVmmd，式中mw为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空间．由于μBwm22，因而采用这种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B的分布．上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用VwLIVmd212求解L．解（1）密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感lSNL2，电流稳定后，线圈中电流REI，则线圈中所储存的磁能为J1028.3221522202lRSENμLIWm在忽略端部效应时，该电流回路所产生的磁场可近似认为仅存在于螺线管中，并为均匀磁场，故磁能密度mw处处相等，3mJ17.4SLWwmm（2）自感为L，电阻为R的线圈接到电动势为E的电源上，其电流变化规律tLReREI1，当电流稳定后，其最大值REIm按题意122212121mLILI，则REI22，将其代入tLReREI1中，得s1056.122ln221ln4RLRLt8－13如图（ａ）所示，金属杆AB以匀速12.0msv平行于一长直导线移动，此导线通有电流I＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？分析本题可用两种方法求解．（1）用公式lBdlEv求解，建立图（a）所示的坐标系，所取导体元xldd，该处的磁感强度xIμBπ20．（2）用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB在内的闭合回路．为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB距导轨下端CD的距离为y，先用公式SΦSBd求得穿过该回路的磁通量，再代入公式tΦEdd，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的电动势．解1根据分析，杆中的感应电动势为V1084.311ln2πd2πdd50m1.1m1.00vvvIμxxμxlEABABlB式中负号表示电动势方向由B指向A，故点A电势较高．解2设顺时针方向为回路ABCD的正向，根据分析，在距直导线x处，取宽为ｄx、长为y的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为xyxIμΦd2πdd0SB穿过回路的磁通量为11ln2πd2πd0m1.1m1.00SIyμxyxIμΦΦ回路的电动势为V1084.32πdd11ln2πdd500IyμtyxIμtΦE由于静止的形导轨上电动势为零，所以V1084.35EEAB式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB导体来说，电动势方向应由B指向A，故点A电势较高．8－17半径为R＝2.0cm的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场可视为均匀磁场，管外磁场可近似看作零．若通电电流均匀变化，使得磁感强度B随时间的变化率tddB为常量，且为正值，试求：（1）管内外由磁场变化激发的感生电场分布；（2）如