大学物理第七章题解

1第七章机械振动7-1．两根轻弹簧与物体的连接方式如图（a）、（b）所示，物体质量为m，弹簧劲度系数为1k和2k，水平面光滑．求这两种情况下振动的固有频率．解（a）以物体m的平衡位置为原点，建立坐标轴Ox水平向右．设m位于x时，两弹簧分别伸长1x和2x，则12xxx．因两弹簧弹性力相等，所以物体m所受合力1122Fkxkx．设由两弹簧组合而成的“组合弹簧”的劲度系数为k，于是12121212()()kkFFFkxkxxkkFkkkk由此求得“组合弹簧”的劲度系数1212kkkkk为常量，可见物体m所受合力为线性回复力，所以系统作简谐振动，振动的固有频率12121122()kkkmmkk（b）以物体m的平衡位置为原点，建立坐标轴Ox水平向右．m位于x时，弹簧1被拉长，弹簧2被压缩，m所受合力1212()Fkxkxkxkkx由此求得“组合弹簧”的劲度系数12kkk为常量，可见物体m所受合力为线性回复力，所以系统作简谐振动，振动的固有频率1212kkm7-2．如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道在竖直平面内，O为其圆心．一质点质量为m，在圆弧轨道最低点附近往复运动．试证明质点作简谐运动，并求振动的周期．解建立极坐标系，正向如图．由牛顿第二定律，横向的运动微分方程为(2)sinmrrmRmg当1时，sin，上式化为0gR可见质点作简谐运动，且知0gR，所以振动的周期022TRg7-3．弹簧振子的质点质量为42.510kg，其运动学方程为0.06cos(5)(m)xt．求：（1）振幅和周期；（2）质点的初始位置；（3）质点位于初始位置时所受合力；（4）质点在st时的位置、速度和加速度．解（1）由运动学方程可见，振幅006mA.，05，周期0204(s)126(s)T..（2）由运动学方程可见，0t时，质点的初始位置0006cos006(m)x..．（3）对运动学方程求时间导数可得2d0.3sin(5)dxxvttd1.5cos(5)dxxvatt0t时01.5cos1.5xa，根据牛顿第二定律可知质点位于初始位置时所受合力440025101537510(N)xFma...（4）把t代入运动学方程和（3）中求得的xv、xa表达式，即可求得质点在t时的位置、速度和加速度分别为006cos(5+)006(m)x..03sin(5)0(ms)xv.215cos(5)1.5(ms)xa.7-4．一质点作简谐振动，振幅为0.02m，速度幅为0.03ms，取速度为正最大值时为计时起点．求：（1）周期；（2）加速度幅；（3）运动学方程．解设运动学方程为00cos()002cos()xAt.t，则00002sin()xv.t200002cos()xa.t（1）由m0002003v..，可知000315002...，所以周期为022419(s)15T..（2）222m0002002150045(ms)a....（3）由已知条件0t时00x、0mxvv，可知0002cos.、mmsinvv，即cos=0，sin=1由以上二式求出2，所以运动学方程为002cos(152)x..t．7-5．如图所示为两个振幅和频率均相同的简谐振动的振动曲线．求两个简谐振动的运动学方程，并求出哪个简谐振动相位超前，超前多少？解由xt图可见，01mA.，4sT．所以0205T.．对振动(1)而言1101cos(05)x..t当0t时11005201cosx..11005sin0xv.所以14，运动学方程为101cos(054)(m)x..t．对振动(2)而言，2201cos(05)x..t．当0t时1201cos0052x..，12005sin0xv.所以24，运动学方程为201cos(054)(m)x..t．这两个简谐振动的相位差122，说明振动(1)比振动(2)超前2．37-6．一水平放置的弹簧振子，质点质量为0.1kg，作简谐振动，振幅为0.01m，质点运动的最大加速度为20.04ms．求：（1）系统的机械能；（2）质点通过平衡位置时的动能；（3）以0.01mx时为计时起点，系统动能与势能相等的时刻．解根据001mA.和22m0004msaA.，可以求出00040012..．由0km，可知2001404km..．（1）系统的机械能2251104001210(J)22EkA..（2）通过平衡位置时0x，势能p0E，所以动能5k210(J)EE．（3）由已知条件0t时0001mx.、00xv，可知cos1，sin0由以上二式求出0．于是2252k01sin()210sin22EkAtt2252p01cos()210cos22EkAtt动能与势能相等的时刻，kpEE，即22sin2cos2tt可求出2(21)244tkk，0123k,,,...所以(21)8tk，0123k,,,...．7-7．有两个同方向同频率的简谐振动，它们的运动学方程分别为130.05cos(10)4xt和210.05cos(10)4xt（国际制单位）．求：（1）合振动的振幅和初相位；（2）若另有一振动30.08cos(10)xt，为何值13xx的振幅最大？为何值13xx的振幅最小？解（1）分别作与0t时刻的1x和2x对应的旋转矢量1A和2A，如图所以．由旋转矢量图可见合矢量12AA的长度为0.052，与Ox轴夹角为90．于是可知合振动的振幅0.052mA，初相位12合．（2）1x和3x同相，即34时，13xx的振幅最大；1x和3x反相，即14时，13xx的振幅最小．7-8．有两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2m，合振动与第一个分振动的相位差为30，已知第一个分振动的振幅为0.13m．求第二个分振动的振幅及两个分振动的相位差．解根据已知条件作旋转矢量图，如图所示．由图可见，第二个分振动的振幅20.1mA．由图可见，两个分振动的相位差2190．47-9．某阻尼振动（弱阻尼状态）的振幅经一“周期”后变为原来的13，求振动的“周期”为振动系统固有周期的几倍．解弱阻尼振动ecostxA't，由题意()e1e3eetT'tT'T'AAlneln3T'T'所以22ln3'T'根据220'，可知22202()1ln3'于是0022T''T'2ln31()21015.7-10．质量为3310kgm的质点，挂在劲度系数21.210Nmk的弹簧下端，沿x轴运动．质点除线性恢复力外，还受策动力0cos2txFF和阻力rxFx作用．求当阻力系数增为原来的3倍时，质点稳态振幅减为原来的几分之几？解根据已知条件，220312104310k.m，2．故弱阻尼受迫振动的稳态振幅0002222204()4ffA由于00Ffm和2m，所以002FA当3'，00001263FFAA，因此当阻力系数增为原来的3倍时，质点稳态振幅减为原来的三分之一．（第七章题解结束）