电磁场与电磁波期末复习

1《电磁场与电磁波复习参考资料》2014杭州第一章矢量分析复习一、矢量与标量（定义、表示）二、矢量的标积在直角坐标系中若ˆˆˆxxyyzzAeAeAeA=++G，ˆˆˆxxyyzzBeBeBeB=++GcosxxyyzzABABABABABθ⋅==++GGˆˆˆˆˆˆ0xyyzzxeeeeee⋅=⋅=⋅=；ˆˆˆˆˆˆ1xxyyzzeeeeee⋅=⋅=⋅=三、矢量的矢积ˆsinnABeABθ×=GGˆˆˆxyzxyzxyzeeeAAABBB=ˆˆˆ()()()xyzzyyzxxzzxyyxeABABeABABeABAB=−+−+−四、标量的三重积()()()ABCBCACAB⋅×=⋅×=⋅×GGGGGGGGG五、矢量的三重积()()()ABCACBABC××=⋅−⋅GGGGGGGGG六、直角坐标系坐标变量ˆˆˆ,,xyzeee位矢ˆˆˆxyzrexeyez=++G线元ˆˆˆddddxyzlexeyez=++G体积元ddddVxyz=七、柱坐标系坐标变量,,zρφ单位矢量ˆˆˆ,,zeeeρφ线元ˆˆˆddddzleeezρφρρφ=++G体积元ddddVzρρφ=转换关系：cosxρφ=；sinyρφ=；zz=。2八、球坐标系坐标变量,,rθφ单位矢量ˆˆˆ,,reeeθφ转换关系：sincosxrθφ=；sincosxrθφ=；coszrθ=体积元2dsindddVrrθθφ=九、标量场的梯度1、定义maxˆ|lelϕϕ∂∇=∂定义梯度为标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向等位面定义DEL算子ˆˆˆxyzeeexyz∂∂∂∇=++∂∂∂，直角坐标系中ˆˆˆxyzeeexyzϕϕϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂方向导数ˆldedlϕϕ=∇⋅或ddlϕϕ=∇⋅G拉普拉斯算子2222222xyz∂∂∂∇=++∂∂∂2、梯度的性质（1）标量场的梯度为矢量；（2）给定点的方向导数为梯度在该方向的投影；（3）给定点的梯度方向垂直于该点的等位面，且指向场增加的方向。3、重要结论：ˆrrrer∇==G；2311ˆrrerrr∇=−=−G；十、矢量场的散度1、矢量场对闭合面通量nˆddSSFSFeSψ=⋅=⋅∫∫GGGvv定义：矢量场的散度0(,,)d(,,)limSVFxyzSFxyzVΔ→⋅∇⋅=Δ∫GGGv也叫通量源密度。2、在直角坐标系中yxzFFFFxyz∂∂∂∇⋅=++∂∂∂G3、从散度的定义出发得散度定理：ddSVFSFV⋅=∇⋅∫∫GGGv4、重要结论：3r∇⋅=G十一、矢量场的旋度1、矢量场的环流定义为：(,,)dCFxyzlΓ=⋅∫GGv3定义：矢量场的旋度01limdCSFFlSΔ→∇×=⋅Δ∫GGGv即环流的面密度2、在直角坐标系中ˆˆˆˆˆˆxyzyyxxzzxyzxyzeeeFFFFFFFeeexyzyzzxxyFFF∂∂⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂⎛⎞∇×==−+−+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠G3、从旋度的定义出发得斯托克斯（stocks）定理：ddCSFlFS⋅=∇×⋅∫∫GGGGv4、重要结论：0r∇×=G，30rr∇×=G，0rr∇×=G十二、两个非常重要的定理1、高斯散度定理（见上）；2、斯托克斯定理（见上）。十三、重要恒等式1、梯度场无旋()0u∇×∇≡。（证明）2、旋度场不散()0F∇⋅∇×≡G。（证明）十四、重要推论1、若0F∇×≡G，则Fu=−∇G。如静电场中0E∇×≡⇒GEϕ=−∇G2、若0F∇⋅≡G，则FA=∇×GG。如稳恒磁场0B∇⋅=⇒GBA=∇×GG十五、关于∇算子的重要结论（证明）2()()AAA∇×∇×=∇∇⋅−∇GGG，()ABBAAB∇⋅×=⋅∇×−⋅∇×GGGGGG()()()ABCBCACAB⋅×=⋅×=⋅×GGGGGGGGG第二章电磁场的基本规律复习一、电荷的四种分布1、体分布Δ0Δ()d()()limΔdVqrqrrVVρ→==GGG，()dVqrVρ=∫G2、面分布Δ0Δ()d()()limΔdSSqrqrrSSρ→==GGG，()dsSqrSρ=∫G3、线分布Δ0Δ()d()()limΔdllqrqrrllρ→==GGG，()dlCqrlρ=∫G4、点电荷模型二、电流密度矢量1、体电流ndˆdiJeS=G，dSiJS=⋅∫GG2、面电流tt0dlimdSliiJeellΔ→Δ==ΔGGG，n(d)SliJel=⋅×∫GGG4三、电流连续性方程ddddddSVqJSVttρ⋅=−=−∫∫GGv微分形式Jtρ∂∇⋅=−∂G（推导）对恒定电流0J∇⋅=G四、静电场1、高斯定理0()dSQErSε⋅=∫GGGv其微分形式为0()()rErρε∇⋅=GGG（推导）高斯定理，表明静电场是有源场，电荷是静电场的源。利用高斯定理求场强：注意三种对称，球对称、柱对称、面对称2、安培环路定理()d0CErl⋅=∫GGGv其微分形式为()0Er∇×=GG（推导）表明静电场是无旋场，保守场，电场力做功与路径无关。五、稳恒磁场1、磁通连续性原理及恒定磁场的散度磁通连续性原理()d0SBrS⋅=∫GGGv其微分形式为()0Br∇⋅=KG物理意义：恒定磁场为无源场，磁力线为无始无终的封闭曲线。2、安培环路定理和恒定磁场的旋度安培环路定理00()d()dCSBrlJrSIμμ⋅=⋅=∫∫GGGGGGv其微分形式为0()()BrJrμ∇×=GKGG物理意义：恒定磁场为有旋场，保守场，电流是磁场的涡旋源。利用安培环路定理求对称性问题的磁场：六、媒质的电磁特性1、电介质的极化（1）概念：在电场作用下，介质中无极分子的束缚电荷发生位移，有极分子的固有电偶极矩的取向趋于电场方向，这种现象称为电介质的极化。无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。（2）极化强度概念：极化强度矢量PG是描述介质极化程度的物理量，定义为Δ0limiVpPVΔ→=∑GG，其物理意义为单位体积电偶极矩的矢量和。（3）电偶极矩：连接Q+和Q−两个点电荷的直线称为电偶极子的轴线，从Q−指向Q+的矢径lG和电量Q的乘积定义为电偶极子的电矩，也称电偶极矩，通常用矢量pql=GG表示。在线性、各向同性的电介质中，PG与电场强度成正比，即e0PEχε=GG。（4）定义电位移矢量0DEPε=+GGG0er0(1)EEEεχεεε=+==GGG，0ε为真空中介电常数；0er0(1)εεχεε=+=为5介电常数；re1εχ=+为相对介电常数，它是无量纲的常数，与介质有关。（5）电介质中的高斯定理dSDSQ⋅=∫GGv表示静电场中通过闭合曲面的电位移通量等于这个曲面所包围的自由电荷代数和。（注意是自由电荷，极化电荷包含在电位移矢量中去了）（6）电介质的本构关系0er0(1)DEEEεχεεε=+==GGGG2、磁介质的磁化（1）在外磁场作用下，分子磁矩定向排列，宏观上显示出磁性，这种现象称为磁介质的磁化。磁化强度矢量：磁化强度MG是描述磁介质磁化程度的物理量，定义为单位体积中的分子磁矩的矢量和，即mΔ0limΔVpMV→=∑GG。（2）介质中安培环路定理磁场强度0d()dMCSBlJJSμ⋅=+⋅∫∫GGGGGv则0M()BJJμ∇×=+GGG定义磁场强度为：0BHMμ=−GGG，即0()BHMμ=+GGG，对于线性各向同性介质mMHχ=GG，则有0m(1)BHHμχμ=+=GGG，0mr0(1)μμχμμ=+=称为介质的磁导率，rm1μχ=+称为介质的相对磁导率（无量纲）。则()()HrJr∇×=GGGG（这里的()JrGG指的是传导电流）（3）磁介质的本构关系0m(1)BHHμχμ=+=GGG3、媒质的导电特性对于线性和各向同性导电媒质，媒质内任一点的电流密度矢量JG和电场强度EG成正比，表示为JEσ=GG，这就是欧姆定律的微分形式。式中的比例系数σ称为媒质的电导率，单位是S/m（西门子/米）。媒质的本构关系JEσ=GG七、时变场的麦克斯韦方程组1、积分形式6d()dddd0dCSCSSSVDHlJStBElStBSDSρdV⎧∂⋅=+⋅⎪∂⎪⎪∂⋅=−⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩∫∫∫∫∫∫∫GGGGGGGGGGGGGvvvvddSVJSVρ⋅=−∫∫GGv电流的连续性方程2、微分形式0DHJtBEtBDρ⎧∂∇×=+⎪∂⎪⎪∂∇×=−⎨∂⎪⎪∇⋅=⎪∇⋅=⎩GGGGGGG（四个方程的物理意义？）注意：介质中的麦克斯韦方程组中的JG和DG指的都是传导电流和自由电荷。3、媒质的本构关系DEε=GG，BHμ=GG，JEσ=GG4、限定形式的麦克斯韦方程组（即用EG和HG表示的麦克斯韦方程组）0/EHEtHEtHEσεμρε⎧∂∇×=+⎪∂⎪⎪∂∇×=−⎨∂⎪⎪∇⋅=⎪∇⋅=⎩GGGGGGG八、电磁场的边界条件n12n12n12n12()()0()0()SSeHHJeEEeBBeDDρ⎧×−=⎪×−=⎪⎨⋅−=⎪⎪⋅−=⎩GGGGGGGGGGGGG八、边值关系1、DG和BG的边值关系推证在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。令Δh→70，则由dSVDSρdV⋅=∫∫GGv得12n()SDDeSSρ−⋅Δ=ΔGGG即n12()SeDDρ⋅−=GGG或者1n2nSρ−=DD同理d0SBS⋅=∫GGv得n12()0eBB⋅−=GGG或者1n2n=BB说明电位移矢量DG法线方向不连续，磁感应强度矢量BG法向连续。2、HG和EG的边值关系推证在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh→0，则由d()dCSDHlJSt∂⋅=+⋅∂∫∫GGGGGv得12()SHHlJNl−⋅Δ=⋅ΔGGGGGnlNelΔ=×ΔGGG得1212n()()()HHlHHNel−⋅Δ=−⋅×ΔGGGGGGGn12[()]eHHNl=×−⋅ΔGGGG故有n12()SeHHJ×−=GGGG或1t2tSHHJ−=；同理有n12()0eEE×−=GGG或1t2tEE=。（上式中利用了矢量恒等式()()()ABCBCACAB⋅×=⋅×=⋅×GGGGGGGGG）说明磁场强度矢量HG切线方向不连续，电场强度矢量EG切向连续。3、特殊情况：两种理想介质分界面上的边界条件（无源情况）n12()0e⋅−=GGGDD；n12()0e⋅−=GGGBB；n12()0e×−=GGGEE；n12()0e×−=GGGHH表明无源情况下DG、BG法向连续，HG、EG切向连续。第三章静态电磁场及其边值问题的解一、静电场的基本方程和边界条件1、基本方程微分形式0ρ⎧∇⋅=⎪⎨∇×=⎪⎩DEGG积分形式dd0SCq⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∫∫DSElGGGGvv本构关系DEε=GG；表面了静电场是有源无旋场，电荷是电场的源。2、边界条件n12n12ˆ()ˆ()0Seeρ⎧⋅−=⎪⎨×−=⎪⎩DDEEGGGG或1n2n1t2t0SDDEEρ−=⎧⎨−=⎩无源情况时（即令面电荷0Sρ=）则8n12n12ˆ()0ˆ()0ee⎧⋅−=⎪⎨×−=⎪⎩DDEEGGGG或1n2n1t2tDDEE=⎧⎨=⎩即表明在无源的情况下，电场的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。3、场矢量的折射关系1t1n111n122t2n22n2/tan/tan//EEDEEDθεεθεε===（推证）二、电位函数1、定义由0E∇×=G得Eϕ=−∇G（为什么？）2、电位的表达式推导31()()d4πVrRErVRρε′′=∫GGGG11()()4πVrRρε′=−∇∫G11[()()d]4πVrVRρε′′=−∇∫G得1()()d4πVrrVCRρϕε′′=+∫GG（利用公式31()RRR∇=−G）3、电位的微分方程DEρρε∇⋅=⇒∇⋅=GG又Eϕ=−∇G则有2ϕρε∇=−称为泊松方程。当无源0ρ=的情况下，方程演化为拉普拉斯方程20ϕ∇=。4、电位的边界条件（1）1P和2P是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1ϕ和2ϕ。当两点间距离0lΔ→时2112Δ0limd0PPlEϕϕ→−=⋅=∫lGG得12ϕϕ=（2）由εϕ=−∇DG，n12ˆ()Seρ⋅−=DDGG得2121Sn