地下水动力学中Matlab的运用(井函数与贝塞尔函数)

地下水动力学中Matlab的运用一、越流含水层中贝塞尔函数的实现越流含水层中地下水向承压水井运动的问题中，贝塞尔函数大量运用，其中精确解中运用了零阶第二类虚宗量Bessel函数K0(𝑟𝐵)，一阶第二类虚宗量Bessel函数K1(𝑟𝐵)。s=𝑄2𝜋𝐾𝑀𝐾0(𝑟/𝐵)(𝑟𝑤/𝐵)𝐾1(𝑟𝑤/𝐵)经简化后的Hantush-Jacob公式中也零阶第二类虚宗量Bessel函数K0(𝑟𝐵)。s≈𝑄2𝜋𝐾𝑀𝐾0(𝑟𝐵)在配线法中使用的是Hantush-Jacob公式，需要在双对数纸上绘制K0(𝑟𝐵)−𝑟𝐵曲线，而这在Matlab中很容易实现。Matlab中内置大量函数，其中包括五类Bessel函数，即besselj(nu,Z)、bessely(nu,Z)、besselh(nu,Z)、besseli(nu,Z)、besselk(nu,Z)，分别对应第一类贝塞尔函数，诺依曼函数，汉克尔函数，第一类修正贝塞尔函数以及第二类修正贝塞尔函数。而我们利用的即为第二类修正贝塞尔函数，相应的语句及图像如下：x=0:0.01:10;y0=besselk(0,x);y1=besselk(1,x);loglog(x,y0,x,y1);gridon;二、井函数的实现地下水向完整井的非稳定运动中需要运用井函数W(u)，其指数积分式为W(u)=−Ei(−u)=∫𝑒−𝑦𝑦𝑑𝑦∞𝑢在Matlab中利用quad或quad8等积命令可实现求其近似值。但Matlab中内置的Maple函数库中包含Ei函数，但不可直接显示其函数值，可直接利用mfun函数调用Matlab中的Maple函数库，以达到求值的要求。相应的语句及图像如下：fori=1:160u(i)=10^(-15+i/10);%生成等比数列，便于画双对数坐标图像endfori=1:160w(i)=mfun('Ei',1,u(i));endloglog(u,w);gridon;井函数数值的验证：U10-1510-1410-1310-1210-1110-10W(u)33.961560731.65897629.35639127.05380524.75122022.448635U10-910-810-710-610-510-4W(u)20.14605017.84346515.54088013.23829610.9357208.633225U10-310-210-1100101W(u)6.3315394.0379301.8229240.2193840.000004三、利用非线性规化获得Theis解析模型数值解Theis公式既可以用于水位预测，也可以用于求含水层参数。而在解决后者这一逆问题时，传统的方法是配线法或Jacob直线图解法，其精度不高且随意性较大。利用Matlab中非线性规化函数fmincon的功能实现统一的评判标准，保证解的唯一性与可靠性。由于我们在上面已经解决了井函数的求值问题，故只需编写非线性规划的目标函数即可。此处最优解的原则是使目标函数值最小，也即目标函数决定了整体的优化评判标准。常见的方法是使理论值与实际值的方差最小，并认为此时函数曲线最契合实际数值点。所以Theis模型的目标函数如下E(T,μ∗)=∑∑𝑤𝑖𝑗[𝐻𝑗(𝑡𝑖)−𝐻𝑗𝑜𝑏(𝑡𝑖)]2𝐽𝑗=1𝐼𝑖=1其中𝑤𝑖𝑗表示权数，代表数据的可信度，一般设为1。𝐻𝑗(𝑡𝑖)与𝐻𝑗𝑜𝑏(𝑡𝑖)分别表示某时刻某一点水位值的理论值与实际值。Matlab语句编写如下：functionE=fune(x)t=T;%调用时间点的M文件s=S;%调用降深值的M文件r=R;%调用观测距离的M文件Q=q;%调用流量的M文件E=0;forn=1:length(r)form=1:length(t)a=r(n)^2*x(2)/(4*x(1)*t(m));E=E+(Q/(4*pi*x(1))*mfun('Ei',1,a)-s(n,m))^2;endend目标函数实现后即可在非线性规划函数中调用，fmincon中变量很多，但一般Theis模型没有对应的线性不等约束或者线性等式约束，故只需限定上下限即可，而初值可根据经验取得相应的数量级即可。具体实现代码如下：function[xfval]=funm[x,fval]=fmincon('fune',[300;0.0001],[],[],[],[],[1;0.00001],[10000;0.01]);四、验证与计算利用上述函数可根据所测得的数据计算得含水层的导水系数T与贮水系数μ∗，而所需要提供的数据包括观测时间，观测点与井的距离以及观测点的降深。由于编写的fune函数中可直接调用上述数据，故使用时只需将对应的数据矩阵导入文件夹即可。现利用课本上的习题进行验证结果的可靠性。（1）利用《地下动力学》课本中100页中观2与观15的两个孔的数据进行测试，结果如下：T=195.94𝑚2/𝑑μ∗=3.00x10−4目标函数值E=0.4092书上利用配线法的计算结果如下：T=197.67𝑚2/𝑑μ∗=2.31x10−4目标函数值E=0.7426（2）利用所提供的PDF文件中观测数据，上述Matlab程序计算结果如下：T=84.82𝑚2/𝑑μ∗=1.46x10−3目标函数值E=0.0394PDF文件中自身程序计算结果为：T=77.37𝑚2/𝑑μ∗=1.47x10−3目标函数值E=0.1255两者的区别源于井函数的求值部分的差异，本报告使用的是Matlab内置的Maple函数库，而PDF中利用的quad8积分函数。但两者计算结果相差不大，且理论上讲利用内置函数库的方法更加精确。通过上述验证我们可以确定Matlab的数值方法可靠度高，且计算过程简便。现计算所提供的两道习题：习题1.在某均质、各向同性的承压含水层中，有一完整抽水井，其抽水量为1256m3/d，已知含水层的导水系数为100m2/d，导压系数为100m2/min。试求：（1）抽水后10min、100min、1000min时，距抽水井10m处的水位降深，以及所反映水位降深的分布规律；（2）抽水后90min后距水井3m、30m、300m处的水位降深，以及所反映水位降深的分布规律。解：由题知导水系数T=100m2/d，导压系数a=100m2/min，流量Q=1256m3/dTheis降深公式s=𝑄4𝜋𝑇𝑊(𝑢)其中u=𝑟2𝜇∗4𝑇𝑡=𝑟24𝑎𝑡（1）将t=10min、100min、1000min以及r=10m代入可得u=0.025、0.0025、0.00025再代入前面的井函数程序中可得W(u)=3.1365、5.4167、7.7171再代入Theis公式中即可求得降深S=3.1333m、5.4140m、7.7132m由此可知同一观测点的水位降深随时间增加而增大，但增大的速率逐渐减小。（2）将r=3m、30m、300m以及t=90min代入可得u=0.00025、0.025、2.5再代入前面的井函数程序中可得W(u)=7.7171、3.1365、0.0249再代入Theis公式中即可求得降深S=7.7132m、3.1349m、0.0249m由此可知同一时刻，观测点与抽水井的距离越大，其水位降深越小。习题2.在承压含水层中有一完整井，以抽水量Q=0.0058m3/s进行抽水试验，在距抽水井10m处有一观测孔，其观测资料如下表所示。试用配线法求该承压含水层的导水系数T和贮水系数μ*。累加时间/min水位降深/m累加时间/min水位降深/m1.50.130150.7820.171200.902.50.218301.0030.30501.2040.36701.3260.501101.5980.582001.71100.62解：将观测时间t=[1.522.53468101520305070110200]/(60*24)观测点距离r=[10]观测降深s=[0.1300.1710.2180.300.360.500.580.620.780.901.001.201.321.591.71]这三个数据矩阵写入M文件即可，经计算得：T=105.55𝑚2/𝑑μ∗=3.34x10−3目标函数值E=0.0109