均值不等式的应用

1二项式定理（教学实录）赤峰二中孙广仁一、教学目标（略）二、教学过程1、复习引入师：4个容器中有红、白玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？（用多媒体给出题。）学生讨论后用多媒体给出答案：取法及取法种数——都不取白球（全取红球）：)(4404CC；取一个白球（1白3红）：)(3414CC；取2个白球（2白2红）：)(2424CC；取3个白球（3白1红）：)(1434CC；取4个白球（无红球）：)(0444CC.师：取法种数再次验证组合数性质：CCmnnmn.顺便问一问，组合数的另一个性质是什么？生：CmnCmn1Cmn1师：不作多项式运算，用组合知识来考察，展开babababa，展开式中有哪些项？各项系数是什么？生：都不取)(4ab；取1个)(3bab；取2个)(22bab；取3个)(3abb；取4个)(4bb，各项系数分别是C04，C14，C24，C34，C44.师：这两个问题的本质是一样的，只是表达形式不同.“取球”问题具体一点，4)(ba的乘法抽象一点（板书）.4)(ba＝404aCbaC3142224baC334abC444bC＝4aba34226ba34ab4b2、点明课题师：我们学习过平方公式和立方公式，这两个公式以及4)(ba的展开式就是今天学习的二项式定理的特殊形式（.师阅读屏幕上的式子并提出问题）2)(ba2aab22b3)(ba3aba2323ab3b4)(ba4aba34226ba34ab4b……?)(nba3、猜想二项式定理师：二项展开式各项由系数和字母组成，下面分别探究它们的规律.⑴、系数的规律2师：下面是2)(ba，3)(ba，4)(ba各项的系数，试观察分析其规律.屏幕打出：1)(ba112)(ba1213)(ba13314)(ba14641生甲：每行的两端相等，都是1.生乙：与首末等距离的两项也相等，中间一项或两项最大.师：上下两行有什么关系？生丙：下一行的第二个数等于上行第一、二个数的和，第三个数等于上行第二、三个数的和……师：对.下一行除1次外的每个数都等于它肩上两个数的和.根据这两条规律，大家能写出5)(ba，6)(ba的系数吗？生：151010511615201561屏幕打出：11121133114641151010511615201561师：上面这个表称杨辉三角，它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它比欧洲人称为帕斯卡三角要早四百多年.当幂指数较小时，应用杨辉三角非常简便.但当n较大时，它就表现一定的局限性.如10n时，要依赖9)(ba展开式的各项系数.而且nba)(展开式的系数，也不好用类似的数字表达.要解决这个问题，同学们从4)(ba展开式的系数得到什么启示吗？:生说字幕显示：4)(ba——C04，C14，C24，C34，C445)(ba——C05，C15，C25，C35，C45，C55师：你能猜想nba)(展开式的系数吗？3生说字幕显示：nba)(——Cn0，Cn1，Cn2……Cnn⑵、关于字母及其幂指数的规律师：同学们通过观察4)(ba展开式，能否发现a、b的结构规律？生：a的指数由4逐一减少到0；而b的指数内0逐一增加到4.每一项a、b的指数和都是4，即4a，ba3，22ba，3ab，4b.师：据此，请说出5)(ba的展开式.字幕显示：5)(ba505aCbaC4152325baC3235baC445abC555bC师：那么在nba)(的展开式中，大家能猜想出a、b的指数规律吗？生：a、b的指数规律——a的指数，从n逐一减少到0，且等于组合数的下标－上标；b的指数，从0逐一增加到n，且等于组合数的上标.每一项a的指数与b的指数之和等于n.师：牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明.”请大家大胆地猜想二项式定理.生：猜想：nba)(nnaC0bannC11222bannCvvnvnbaCnnnbC..4、证明二项式定理师：大胆猜想，科学求证.下面我们用数学归纳法证明二项式定理.屏幕显示：证明：（1）略（2）假设当kn时等式成立，即kba)(kkaC0bakkC11rrkrkbaCkkkbC则当1kn时)()()(1bababakkkkaC0(bakkC11rrkrkbaC))(babkkkC师：我们在变换之前，应该先明确证明目标：字幕显示：1)(kba101kkaCbakkC11111rrkrkbaC1111kkkkkkbabCC师：对，这是我们要证明的目标.对照这个目标，需要作多项式的乘法.下面请同学们进行乘法运算.乘完后，看有什么情况？如何处理才能一步一步向证明目标靠拢？（待学生运算结束后）师：大家发现有什么情况？生：bak，21bak，……，1rrkba，……，kab各有两项，1ka，1kb各有一项.师：对，如何处理同类项？生：合并同类项.屏幕显示：kba)(10kkaCbakkC111rrkrkbaCkkkabC41110kkkkkkrrkrkkkbabbabaCCCCbaakkkrkkCCC)(01011)(rrkrkrkbaCC11)(kkkkkkkkbabCCC师：请同学们观察合并的系数与证明目标中的系数有什么关系？生：相等，字幕显示：CCkk010，CCCkkk1101，……，CCCrkrkrk111，……，CCCkkkkkk11，CCkkkk11师：上面诸等式成立的依据是什么？生：组合数性质——CCCmnmnmn11师：应用组合数性质：CCCmnmnmn11以及CCkk001，CCkkkk11则得到1011)(kkkabaC111111rrkkkkkbabaCC1111kkkkkkbabCC（以下证明略）5、对公式的再认识师、生共同总结叙述：1.通项公式：rrnrnrbaCT12.规律：（1）项数：1n项（2）二项式系数：Crn，即Cn0，Cn1，……，Cnn，与首末等距离的两项的二项式系数相等.（3）a、b的指数之和等于k+1。6、公式的初步应用【学生练习】1.写出7)1(q的展开式（解略）2.写出nx)1(的展开式（略）3.写出nba)(的展开式（略）4.求bba)32(展开式中的第3项解：2422242632160)9)(16(15)3()2(bababaCT5.求bab)23(展开式中的第3项解：424242634860)4)(81(15)2()3(baababCT5师：比较第3、4题的解法，求二项展开式的某一项时要注意什么？生：公式中的a、b不能互换.师：对.求整个展开式，a、b可以互换，但求某一项时，a、b不能互换.师：第4题中第3项的二项式系数是多少？该项的系数是多少？两者相同吗？生：15，2160.两者不同.师：是的.“二项式系数”与“系数”不一定相同，这点要注意区别.三、小结师说屏幕显示：1.本课我们用由特殊到一般，又由一般到特殊的归纳演绎的方法学习二项式定理.2.数学思想和方法是数学的灵魂.本课教学突出归纳思想和数学归纳法.3.二项式定理的规律突出表现在二项式系数的规律和字母的规律.4.二项式定理体现了数学美：简洁美、和谐美、对称美.四、作业（略）五、板书设计（略）。