反证法(含答案)

反证法的答案1、对于定义在实数R上的函数xf，如果存在实数,0x使,00xxf那么0x叫做函数xf的一个好点.已知122axxxf不存在好点，求实数a的取值范围.解析：假设函数xf存在好点，即.0.0112,1222xaxxaxx.2321.04122aaa或122axxxf不存在好点，).23,21(a2、若二次函数1222422ppxpxxf在区间1,1内至少存在一点,c使cf,0求实数p的取值范围.解析：假设xf在区间1,1内的任意一个x都有.0xf则.3230120932012224012224010112224222222ppppppppppppffppxpxxf或二次函数1222422ppxpxxf在区间1,1内至少存在一点,c使0cf,实数p的取值范围为).23,3(3、求证：抛物线上任意不同四点所组成的四边形不可能是平行四边形.解析：如图，设抛物线方程为,,,,,,,03322112yxCyxByxAaaxy44,yxD是抛物线上不同的四点，则有),4,3,2,1(,22iayxaxyiiii于是.122212121212yyaayayyyxxyykAB同理.,,143432yyakyyakyyakADCDBC假设四边形ABCD是平行四边形，则.,CDBCCDABkkkk从而得,,4231yyyy进而得,,4231xxxx于是CA,重合，DB,重合，这与DCBA,,,是抛物线上不同的四点的假设相矛盾.故假设不成立，原结论成立.4、若DCBA,,,为空间四点，且.90DABCDABCDABC求证：DCBA,,,在同一平面内.解析：如图，假设DCBA,,,不共面，可设过点DCB,,的平面为,且.A过点A作,AA点A为垂足.而.90CDAABC由三垂线定理的逆定理得：.90DCABCA90.90DABBCD(点A在BCDBCD外，否则BCD的内角和将大于180).222222.,.BDADABDAADBAABBDDABA这与90DAB相矛盾，故假设不成立，原结论成立.5、已知函数.112axxaxfx(1)、证明：函数xf在,1上为增函数.(2)、用反证法证明0xf没有实数根.解析：(1)、任取,,1,21xx设,21xx则,0,01212xxaxx且.01xa.0112112xxxxxaaaa.01131112121212.01,012112212112112221xxxxxxxxxxxxxxxx.0121211221212xxxxaaxfxfxx函数xf在,1上为增函数.(2)、假设存在,1000xx满足,00xxf则,12000xxax且,100xa221.1120000xxx这与假设00x相矛盾.0xf没有实数根.6、求证：若方程是实数babxax,10sin有实数根，则其实数根必唯一.解析：假设其实数根不唯一，则至少存在两个相异的实数根,sin,,1121bxaxxx则.sin22bxax.2sin2cos2sinsin21212121xxxxaxxaxx于是.1...22sin.2sin221212121212121axxxxaxxxxxxxxaxx这与已知10a相矛盾.故假设不成立，原结论成立.7、一象棋选手共n人,3n欲将他们分成三组进行比赛，同一组中的选手都不比赛，不同组的每两个选手都要比赛一盘.试证：要想总的比赛盘数最多，对应的分组应是使他们任何两组间的人数最多相差一人.解析：设比赛盘数最多的分组法是三个组的人数分别为,,,tsr则.ntsr于是比赛的总盘数是.rtstrsN假设比赛盘数最多的分组法中，“任何两组间的人数最多相差一人”不成立，则至少能找到某两个组，使这两组人数只差不小于2，不妨设.2tr则在人数为r的组中，抽到1人到人数为t的一组中，这样得到的新分组：,1,,1tsr那么这个分组共比赛盘数为：.11111trrtstrsrttssrM..11.2NMtrtr这与原来假设按tsr,,分组比赛盘数最多相矛盾，故原命题成立.8、设函数xf对定义域内任意实数都有,0xf且yfxfyxf成立.求证：对定义域内的任意x都有.0xf解析：设满足条件的任意x，0xf不成立，即存在某个,0x有.0.00xfxf.00xf而.0)2()2()2()22(0200000xfxfxfxxfxf这与假设00xf相矛盾，故假设不成立.对定义域内的任意x都有.0xf9、已知数列na满足:;10,1)1(21)1(3,211111naaaaaaannnnnn数列nb满足：.1221naabnnn(1)、求数列nnba,的通项公式.(2)、证明：数列nb中的任意三项不可能成等差数列.解析：.32,1).1(321.1)1(21)1(31222111nnnnnnnnnnccacaaaaaa则令.)32(41)32(431)32(431.)32(431)1(.0,021.)32(431.)32(431.)32(43.32,43,43111221111112121211nnnnnnnnnnnnnnnnnnaabaaaaaaccac的等比数列公比为是首项为数列(2)、假设数列nb存在三项)(,,tsrbbbtsr按某种顺序成等差数列，由于数列nb首项为,41公比为32的等比数列，于是有,tsrbbb则可能有trsrbbbb2成立..32223:23.)32(41)32(41)32(41211111strsrtrtrttrs得两边同乘,tsr上式左边为奇数，右边为偶数.故上式不成立，导致矛盾.故数列nb中的任意三项不可能成等差数列.10、设函数,23123cbxxaxxf其中.0a曲线xfy在点))0(,0(fP处的切线方程为.1y(1)、求.,cb(2)、设曲线xfy在点))(,())(,(2211xfxxfx及处的切线都过点).2,0(证明：当21xx时，).()(21xfxf(3)、若过点)2,0(可作曲线xfy的三条不同切线，求a的取值范围.解析：(1)、.2baxxxf由题意得：.1,0.10.00cbff(2)、由(1)得..1231223axxxfxaxxf由于点))(,(tft处的切线方程为：),)(()(txtftfy而点)2,0(在切线上，.01232).0)(()(223tatttftf则t满足的方程为.0123223tat假设).()(21xfxf由于曲线xfy在点))(,())(,(2211xfxxfx及处的切线都过点).2,0(则下列等式成立.22212122322131.01232.01232axxaxxxaxxax由③得：.21axx①-②得：.432222121axxxx④而.4343)2()()(2221212111221221222121aaaxaaxxxaxaxxxxxxxx故由④得,21ax此时22ax与21xx矛盾.).()(21xfxf(3)、由(2)知,过点)2,0(可作曲线xfy三条不同切线,等价于方程)0)(()(2ttftf有三个相异的实根,即等价于方程0123223tat有三个相异的实根.设).2(22)(.01232)(223attatttgtattg则由于.0a故有t)0,(0)2,0(a2a),2(a)(tg+0-0+)(tg极大值1极小值2413a由tg的单调性知：要使0tg有三个相异的实根,当且仅当.32024133aaa的取值范围是)32(3.①②③