反证法习题

[学业水平训练]1．(2014·高考山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.2．设a，b，c为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C．首先若P，Q，R同时大于零，则必有PQR＞0成立．其次，若PQR＞0，则P，Q，R同时大于零或其中两个负数一个正数，不妨假设P＜0，Q＜0，∴a＋b－c＜0，b＋c－a＜0，∴b＜0与b为正实数矛盾，故P，Q，R都大于0.故选C．3．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则()A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交解析：选B.逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B.4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C．假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C．5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：选C．若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．6．在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________．解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.答案：③①②8．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且ab，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意ab，n∈N*，则恒有anbn，从而an＋2bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.答案：09．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．证明：假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC．∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．10．(2014·海口高二检测)若x，y都是正实数，且x＋y＞2，求证：1＋xy＜2与1＋yx＜2中至少有一个成立．证明：假设1＋xy＜2和1＋yx＜2都不成立，则有1＋xy≥2和1＋yx≥2同时成立，因为x＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y＞2矛盾，因此1＋xy＜2和1＋yx＜2中至少有一个成立．[高考水平训练]1．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A．(－12，32)B．(－32，12)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选A.假设f(x)＝x2＋2ax＋1存在好点，亦即方程f(x)＝x有实数根，所以x2＋(2a－1)x＋1＝0有实数根，则Δ＝(2a－1)2－4＝4a2－4a－3≥0，解得a≤－12或a≥32，故当f(x)不存在好点时，a的取值范围是－12＜a＜32，故选A.2．完成下列反证法证题的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证p＝(a1－1)(a2－2)·…·(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①由于奇数个奇数之和为奇数，故有：奇数＝________②＝________③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．答案：①a1－1，a2－2，…，a7－7②(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)③(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)3．已知直线m与直线a和b分别交于A，B，且a∥b.求证过a，b，m有且只有一个平面．证明：如图所示，∵a∥b，∴过a、b有一个平面α，又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α.假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．4．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．证明：假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①∵{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，∴a2n＝an－1an＋1，b2n＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbn(pq＋qp)，即2＝pq＋qp.②当p，q异号时，pq＋qp＜0，与②相矛盾；当p，q同号时，由于p≠q，∴pq＋qp＞2，与②相矛盾．故数列{cn}不是等比数列．