反证法解题方法及应用研究(第五稿)

反证法解题方法及应用研究摘要反证法是初等数学解题方法中极其重要的方法之一，特别是当一些直接证明无法入手时，使用反证法证明将会化难为易，所谓“正难则反”便这种方法．[1]反证法主要是运用逆向思维的逻辑来解题，先假设结论的反面成立，再由假设出发，根据已有的定义、公理、定理、条件，使推导得出的结果与原命题的已知条件相矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．并且利用反证法解题可以提高学生的逻辑思维能力，因此反证法在初等数学解题中得到了广泛的应用．本文主要从反证法的概念及步骤、如何做出正确反设及矛盾推导、论证形式及逻辑原理、反证法适用范围、适用反证法的命题及举例上作了大量论述，并总结出了一套提升反证法解题能力的方法．因此，旨在通过本文对反证法的研究，从而对培养学生的逻辑思维能力和解题技巧有所帮助．关键词：反证法；逻辑思维；解题技巧；应用；能力提升ReductiontoabsurdityproblemsolvingmethodandapplicationresearchAbstract:Reductiontoabsurdityisoneoftheextremelyimportantmethodintheelementarymathematicsproblem-solvingmethod,especiallywhensomedirectlyproveunabletostartwith,usingthereductionwillbehard,so-calledisdifficult,thiskindofmethod.[1]thereductiontoabsurdityismainlyusingreversethinkinglogictoproblemsolving,thereverseofthefirsthypothesisconclusionwasestablished,byassumption,againaccordingtotheexistingdefinitions,axioms,theorems,conditions,thederivedresultswiththeoriginalpropositionoftheknownconditions,thusnegativeassumptions,tosuretheoriginalpropositionrightaway.Andthereductiontoabsurdityproblemsolvingcanbeusedtoimprovethestudents'logicalthinkingability,sothereductiontoabsurdityinelementarymathematicsproblem-solvinghasbeenwidelyused.Thisarticlemainlyfromtheconceptandstepsofreductiontoabsurdity,howtomaketherightinversederivationsetandcontradiction,thetextargumentformsandlogicalprinciple,theapplicablescope,applicablepropositionofreductiontoabsurdityandmadealotofpaper,forexample,andsummarizesasetofmethodtoimprovethereductiontoabsurdityproblemsolvingskills.Therefore,throughtheresearchofreductiontoabsurdity,tocultivatestudents'logicalthinkingabilityandproblemsolvingskills.Keywords:reductiontoabsurdity;Logicalthinking;Theproblemsolvingskills;Application;Abilitytoascend目录1引言.................................................................12文献综述.............................................................12.1国内外研究现状.......................................................12.2国内外研究现状评价...................................................22.3提出问题.............................................................23反证法的概念及一般步骤...............................................23.1生活中的反证法.......................................................23.2反证法的概念.........................................................33.3反证法的一般步骤.....................................................44反证法如何做出正确反设及矛盾推导.....................................44.1如何做出正确反设.....................................................44.2如何否定命题的结论...................................................64.3如何正确归谬.........................................................75反证法的论证形式及逻辑原理...........................................85.1反证法的论证形式.....................................................85.2反证法的逻辑原理.....................................................86反证法适用范围.......................................................96.1反证法在代数证题中的应用.............................................96.2反证法在三角函数证题中的应用........................................106.3反证法在平面几何证题中的应用........................................116.4反证法在立体几何证题中的应用........................................116.5反证法在解析几何证题中的应用........................................127适用反证法的命题举例及能力提升......................................137.1“否定性”命题......................................................137.2某些涉及无理数的命题................................................147.3“无限性”命题......................................................157.4“判断性”命题......................................................167.5“起始性”命题......................................................177.6“至多”与“至少”命题..............................................187.7某些命题的“逆命题”................................................197.8“存在性”与“唯一性”命题..........................................207.9“都是”与“存在一个不是”的命题....................................217.10“都不是”与“存在一个是”的命题....................................217.11如何提升反证法解题能力.............................................228结论................................................................238.1主要发现............................................................238.2启示................................................................238.3局限性..............................................................238.4努力方向............................................................24参考文献.............................................................2511引言随着我国综合国力的不断增强，教育事业越来越受到人们的重视．既而，中、高考成为莘莘学子展示自己个人成就的一个重要平台．而数学作为其中的一大主科，在这个平台上起着至关重要的作用．所以，熟练掌握数学解题方法则成为同学们的制胜法宝．运用适当的数学解题方法，就像开锁已经找到了钥匙，可以使复杂的问题简单化、清晰化．而反正法就是数学邻域中的一把钥匙．反正法不仅在初等数学中有着非常广泛的应用，就是在高等数学中也具有特殊的作用．数学中的许多重要定理、结论、性质的证明都需要采用反证法．对于某些难度较大世界难题也常常看得见“它的身影”．因此，我选择反证法的解题方法进行研究．本文主要从反证法的概念及步骤、如何做出正确反设及矛盾推到、论证形式及逻辑原理、反证法适用范围、适用反证法的命题及举例上作了大量论述，并总结出了一套提升反证法解题能力的方法．旨在通过本文对反证法解题方法和应用研究，使学生更清楚的了解反证法，更熟练的掌握其解题方法，提升反证法解题能力，培养学生的逆向思维能力．2文献综述2.1国内外研究现状从已查阅到的文献中，分别就反证法的各种应用作了讲解．其中申清宇在文献[1]中介绍了反证法在高考题中的应用；沈敏鉴在文献[2]中讲解了反证法与综合法和分析法的区别；刘俊、付本路、姚玉平在文献[3]中描述了反证法的定义及一些适用题型；严镇军、陈吉范、康德论在文献[4，5]中叙述了反证法适用哪些命题；方昌武、汪祖亨在文献[6]中强调了反证法在代数等几种领域中的应用；陈人明在文献[7]中说明了反证法的逻辑原理及其在中学数学中的应用；马瑞在文献[8]中研究了反证法在几何中的应用；田洁在文献[9]中叙述了反正法的原理及步骤；杜永中、丁琳在文献[10，13]中论述