基于matlab带电粒子在非匀强磁场中运动模拟

基于matlab带电粒子在非匀强磁场中运动模拟摘要：带电粒子在磁场中的运动是我们在中学的时候就学过的，但是那些都是在均匀的磁场中运动的，在一般的教材中，包括大学的电磁学中，也省略了带电粒子在非均匀的磁场中运动的讨论。我们都知道带电粒子以一定的速度进入均匀的磁场中时，粒子的运动轨迹是一条螺旋线。那么在非均匀的磁场中运动又会是什么样的轨迹呢？本文简单的介绍matlab的概念及在处理物理模型中作用，带电粒子在磁场中运动方程的建立，定性分析它的轨迹，用数值模拟的方法将运动轨迹模拟出来。关键词：带电粒子，运动轨迹，模拟，非均匀磁场，matlab1.引言随着计算机迅速的发展，我们的社会已经进入了信息化的时代，计算机技术已经进入了人类社会的每一个领域，也是我们人类发展必不可少的技术手段，特别是数值模拟中，数值模拟已经成为当今社会发展的热题。以MATLAB为工具的数值模拟为例。MATLAB是MatrixLaboratory的缩写，它是一种数值计算和图形图像处理工具软件，它的特点是语法结构简明、数值计算高效、图形功能完备、易学易用。它在矩阵代数、数值计算、数字信号处理、振动理论、神经网络控制、动态仿真等领域都有广泛的应用。MATLAB的功能很强大，能使一些问题能够巧妙的解决，使一些难题变得容易解决。所以，MATLAB为一些可视化的物理模拟提供了强有力的手段。我觉得，作为新一代的大学生除了会运用一些简单的高等数学知识解决大学物理中的问题之外，还应该学会用计算机铺助我们解决高等数学解决不了的问题，特别是用MATLAB模拟一些很难得轨迹。例如，我们在以前的课本上都没有见过带电粒子在非均匀磁场中的运动轨迹，甚至有些课本上直接就是一句话带过，为了搞清楚带电粒子在非均匀磁场中的运动，本文通过建立带电粒子在非均匀磁场中运动的运动学微分方程，再编写程序，然后在借助MATLAB这个工具，把带电粒子在非均匀磁场中的运动轨迹模拟出来。带电粒子在非均匀的磁场中的运动时，也是做螺旋运动，但是半径和螺距都在不断的发生变化，当粒子的速度向磁场较强的方向前进时，它受到的磁场力有一个和前进方向相反的分量，这个作用力有可能将粒子的前进速度减为零，并而沿反向运动，使粒子在约束一定的区域内往返运动，这就是我们所说的磁约束。我们知道轻核聚变是最理想的能源开发问题，它可以提供取之不尽的能量，而轻核聚变时需要很高的温度，在高温下物体都处于等离子状态，一般的容器都无法装载，但是将这些等离子体约束在一定的磁场区域内就可以进行轻核聚变的反应了，目前采用闭合环形的磁场来约束等离子体，主要用于研究可控热核反应。其实我们知道地球也是个具有中间磁场弱，两极强的特点，是一个天然的磁约束装置，它可以将宇宙中的带电粒子约束在一定的空间区域，形成环绕地球的辐射带，这就是范.阿伦辐射带。范.阿伦辐射带分为内外两个，内辐射带主要分布着的粒子是高能质子，外辐射带主要分布着的粒子是高能电子。θzxOyBv02.条件引入及运动方程的求解磁场强度随B时间和空间位置的变化而变的磁场叫做非均匀磁场。我们在电磁学中已经学过带电粒子在均匀的磁场中运动是一条螺旋式的运动，但是在非均匀的磁场中运动时，运动轨迹又是什么样子的呢？现有一非均匀的磁场沿B着Z轴方向分布大小与Z成正比即：B=KZk，K是比列系数。现在有一带电粒子从坐标原点以一定的速度射进磁场，带电粒子质量为m，带电量为q，初速度的方向在Oxy平面内，与z轴的夹角为。（如图.1）求解粒子在此条件下的运动轨迹。我们都是到带电粒子在磁场中运动要受到洛伦兹力的作用，我们忽略了粒子的重力，即F合外力就等于洛伦兹力。即：F=ma=qvB(1)ddvatQ(2)F=mddvt=qvB(3)由于是在x,y,z的坐标下，所以就有三个方向的分量由行列式得出：00xyzyxvBvvvKZvKZvKZijkij(4)图.1带电粒子在x,y,z三个方向上的运动微分方程为：x方向的运动微分方程：ddxyvmKqzvt(5)y方向的运动微分方程:ddyxvmKqzvt(6)z方向的运动微分方程:d0dzvmt(7)由（7）式和初始条件0coszvv（8）由（7）（，8）式0cosztdvd（9）对（9）式进行积分，0coszdvdt（10）由初始条件Z(0)=0得出：00costztdvd（11）由（11）式积分得：0cosZvt（12）根据（12）式可知当=0时，0xyvv，所以粒子在Z轴方向上做匀速直线运动。当2时，0xvv，0yzvv在x=0的平面，B=0,所以粒子在x轴方向上做匀速直线运动。上面的结论不能说明粒子的运动轨迹，要想知道粒子的运动轨迹，那我们还必须知道粒子在x,y方向上的运动方程。才能说明粒子的运动轨迹。由（5）式ddxyvmKqzvt和（6）式ddyxvmKqzvt进行化解。将（5）式除以（6）式得：左边=yxyxvdvdvv=右边  0xxyyvdvvdv（13）利用初始条件00xyvvsinv，，积分上式得:22220 xyvvvsin（15）为了方便解决问题，我们引进角度变量。我们设0xvvsincos（16）0yvvsinsin（17）由（16），（17），（12）式代入（5）式可得出角度量的微分方程：000ddcosxyxyvmKqzvtvvsincosvvsinZtsinvuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur代入（5）式得出角度量的微分方程：0dcosdmKqvtt(18)当0t时，0对（18）式进行积分：0=00  cos ttdmKqvtdPP解得：20cos2Kqvtm（19）将（19）式代入（16）式0xvvsincos得出：200cosdsincosd2Kqvxvttm（20）将（20）式化解得：200cossincos2xtKqvdvtdm（21）积分（21）式得：2000cossincos2ttKqvxvtdm（22）我们设0cos2Kqvmut查阅积分公式，积分（22）式可积分得：2002sincos()cosuumvxudKq（23）（23）式这个积分为菲涅尔余弦积分，只有数值解。这是在x方向上的运动方程。同理我们在求出在y方向的运动方程。将（19）式代入（17）式0xvvsincos得出：200dcossinsind2yKqvvttm（24）将（20）式化解得：200cossinsin2ytKqvdvtdm（25）积分（25）式得：2000cossinsin2ttKqvxvtdm（26）我们设0cos2Kqvmut查阅积分公式，积分（26）式得：2002sinsin()dcosumvyuuKq（27）（27）式这个积分称为菲涅尔正弦积分，也只有数值解。这是在y方向上的运动方程。当（23），（24）式中的u时，正，余弦菲涅尔积分都趋于2π4，此时粒子的极限坐标为：0lim0limsinπ2cossinπ2cosmvxKqmvyKq（28）3.编写程序4.调试程序及模拟运动轨迹5.总结