基于矩形卷积窗的音频测量系统谐波分析方法研究

基于矩形卷积窗的音频测量系统谐波分析方法研究摘要：在音频测量系统中，高精度谐波分析是谐波失真测量的重要基础。研究卷积窗在音频测量系统高精度谐波分析中的应用，并将卷积窗与多种常用的经典窗函数进行比较。结果表明：与具有相同宽度的其它窗函数相比，当采样同步误差较小时，卷积窗的主瓣最窄，旁瓣衰减速率最大，具有更小的频谱泄漏效应，因此更适于音频测量系统的高精度谐波分析。通常，音频测量系统的测量频率已知，通过选择合适的窗长，可以保证采样同步误差较小。该加窗算法的特点是，测量频率在较大范围内变化时，测量精度高、算法简单。关键词：失真测量；谐波分析；音频测量；卷积窗AudiomeasurementsystemharmonicanalysisbasedonRetangularConvolutionWindowAbstract:Theaudiomeasurementsystem,high-precisionmeasurementofharmonicanalysisisanimportantbasisforharmonicdistortion.Convolutionwindowofaccuracyintheaudiomeasurementsystemharmonicanalysis,andcompareconvolutionwindowwithavarietyofclassicalwindowsfunction.Theresultsshowthat:withthesamemainlobewidthofthewindowfunctionotherthanthesynchronizationerrorwhenthesampleissmall,theconvolutionwindowwithminimumspectralleakageeffects,itisparticularlysuitableforhighprecisionaudiomeasurementsystemharmonicanalysis.Typically,theaudiofrequencymeasuringsystemisknown,byselectingtheappropria-tewindowlength,canguaranteethesynchronizationerrorsmallersample.Thewindowingalgorithmischaracterizedbymeasuringthefrequencychangeinalargefrequencyrange,themeasurementofhighprecision,simplealgorithm.Keywords:DistorationMeasurement、HarmonicAnalysis、AudioMeasurement、ConvolutionWindow一引言利用音频测量系统获得某一待测装置的谐波失真，首先使用正弦稳态信号激励该系统，然后对其响应信号进行谐波分析，通过对分析结果的进一步处理，可以计算出各种类型的谐波失真。为了保证谐波失真的测量精度，选用高精度的谐波分析方法是重要的前提。由于计算机只能处理有限长度的离散数据，快速傅立叶变换和频谱的分析也只能在有限区间内进行，因此必须首先需要对采集到的时域响应信号进行离散化并截取其有限长度，这就不可避免的存在由于时域截断产生的能量泄漏。为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的窗函数对响应信号进行截断。能量泄漏与窗函数频谱的旁瓣密切相关，如果使旁瓣的高度趋于零，使能量相对集中在主瓣，就可以得到较为接近真实信号的频谱。为此，常在时域内采用不同的窗函数来截断响应信号。采用不同的窗函数得到的谐波失真的测量精度不同，但对最佳窗函数的要求是一致的：时域为改善截断处的不连续状态，频域则要求窗谱的主瓣窄而高，以提高分辨率；旁瓣幅值应小，正负交替接近相等，以减小泄露。减小频谱泄露是音频测量系统中高精度谐波分析的前提条件。在音频测量系统中，减小频谱泄露的根本途径就是选择合适的窗函数。将矩形卷积窗与多种常用的经典窗函数进行比较，结果表明：与具有相同宽度的其它窗函数相比，当采样同步误差较小时，矩形卷积窗的主瓣最窄，旁瓣衰减速率最大，具有更小的频谱泄漏效应，而且在音频测量系统中，测量频率在较大范围内变化时，测量精度也极高、算法简单，因此特别适合于音频测量系统的高精度谐波分析。二卷积窗1.矩形窗宽度为0T(可取为信号周期的额定值或初估值)的矩形窗表示为：0000010121()112tTtwtrecttTTTT(1)其Fourier变换为:001000022212sin1sinTiftiftTTfWfwtedtedtcTfTTf(2)2.P阶卷积窗P阶矩形卷积窗pwt定义为宽度为0T的矩形窗的P重卷积(0T可以取为所要分析的信号周期粗估值)：000000111()ptttwtrectrectrectTTTTTT(3)根据Fourier的卷积定理，其相应的Fourier变换()pWt为:000sin()sinpppTfWfcTfTf（4）由公式可知矩形卷积窗的频域分布特点是在整数频率点附近旁瓣快速趋于零，而且随着矩形卷积窗阶数P的增加，旁瓣的衰减速率增大。从图1中可以明显的看到，四阶矩形卷积窗的旁瓣衰减速率明显优于三阶矩形卷积窗的旁瓣衰减速率。00.10.20.30.40.50.6-160-140-120-100-80-60-40-200归一化频率（πrad/sample)幅度DB3阶矩形卷积窗4阶矩形卷积窗图-1三阶卷积窗与四阶矩形卷积窗的比较3.卷积窗与其他著名窗函数的比较对响应信号加窗,目的是使主瓣更尖锐，旁瓣更低，减少主瓣的频率泄漏到旁瓣上。对窗的选取，要综合考虑第一旁瓣的大小和旁瓣的衰减速率，根据需要只有这两个条件都很好时才可以算的上是比较理想的窗函数。由图2可以看出，四阶矩形卷积窗与多种常用的经典窗函数进行比较可以明显的看出：主瓣更尖锐，旁瓣更低，随着卷积窗阶数的增加，旁瓣的衰减速率明显优于其他余弦窗函数，而且与具有相同宽度的其它窗函数相比，当采样同步误差较小时，矩形卷积窗具有最小的频谱泄漏效应。矩形卷积窗的优势显而易见。综合考虑可知，矩形卷积窗更适合于音频测量系统的高精度谐波分析。00.10.20.30.40.50.6-160-140-120-100-80-60-40-200归一化频率（πrad/sample)幅度DBRife-Vincent(III)窗Blackman-Harris窗4阶矩形卷积窗矩形窗图2四阶卷积窗与矩形窗、Blackman-Harri窗、4项Rife-Vincent(III)的比较4.周期信号的谐波分析4.1谐波的振幅与相位估计当使用P阶卷积窗对信号加窗时，加窗信号0,htt在0fnf处的谱值为：00sinsin,222sinsin12nnmmppnniippMnmpiimmmnnxnxAAHnfteenxnnxmxmxAeemnmxmnmx（5）当Mx1时，0sin,02npnipnnxAHnftexQnnx，（6）其中：1012211nmmnmpiiiMnmmnpppmmnAeAeAeQxnmxnm当式（6）中的长程谱泄漏可忽略时，可以得到：00000,sin,22npinnsnHtAnxAeHnftnxnxnft(7)从而第n次谐波的振幅和相位估计分别为：000000000,2,sin21arg,pnnnAHtnxAHnftnxnfxtHnft（8）4.2振幅及相位估计的误差分析为分析上面所得到的振幅和相位估计的误差，将式(6)改写为:sin(1)nnpiippnnnnnxAeAexRxRnx（9）其中211211mnmnnnmpiiiMmnpppmnmnAeeeRAxnmxnm（10）因此，第n次谐波的振幅估计和相位估计的相对误差为：Re/ImpnnnpnnnAAxRxR（11）显然，振幅和相位估计的相对误差均与相对频偏x的P次方成正比，从而可通过减少相对频偏x或增加卷积窗的阶数P来减少测量误差。研究分析表明，为了获得更好的测量精度，并保证计算量不过于大，4阶矩形卷积窗就可以满足大多数情况下的需要。5.仿真比较将上述4种窗函数仿真所得的结果进行比较，从图3和图4可以看出无论是幅值误差还是相位误差，四阶矩形卷积窗的精度都要比其它三种窗函数高。尤其是相位的精度从图4可以看出，在某些点和给定值是完全一致的。结果表明，在频率偏差较小时,卷积窗的频谱泄漏效应小于已有的各种同宽度的经典窗函数。5101234-20-10010n--谐波次数No.1矩形窗log10(频率)log10(误差）5101234-20-10010n--谐波次数No.2Blackman-Harris窗log10(频率)log10(误差）5101234-20-10010n--谐波次数No.34项Rife-Vincent(III)log10(频率)log10(误差）5101234-20-10010n--谐波次数No.4四阶卷积窗log10(频率)log10(误差）图3幅值误差比较5101234-20-10010n--谐波次数No.1矩形窗log10(频率)log10(误差）5101234-20-10010n--谐波次数No.2Blackman-Harris窗log10(频率)log10(误差）5101234-20-10010n--谐波次数No.34项Rife-Vincent(III)log10(频率)log10(误差）5101234-20-10010n--谐波次数No.4四阶卷积窗°log10(频率)log10(误差）图4相位误差比较6.结束语在音频测量系统中，高精度谐波分析是谐波失真测量的重要基础，而本文的特点是将矩形卷积窗应用于音频测量系统的高精度谐波分析中，并将矩形卷积窗与多种常用的经典窗函数进行比较，验证了卷积窗在音频测量系统中的性能。结果表明：与具有相同宽度的其它窗函数相比，当采样同步误差较小时，卷积窗具有最小的频谱泄漏效应；该窗算法的特点是，测量频率在较大范围内变化时，测量精度极高、算法简单，因此特别适合于音频测量系统的高精度谐波分析。通常，音频测量系统的测量频率已知，通过选择合适的窗长，可以保证采样同步误差较小。但是使用p阶卷积窗时，信号的窗长不能够随意选取，必须以基频信号周期的p倍作为窗长，这样的规则有可能造成频率偏差较大，所以一般的解决办法就是选取较低的频率作为基频的频率。参考文献[1]AndriaG,SzvinoM,TrottaA.WindowsandinterpolationAlgorithmstoimproveelectricalmeasurementaccuracy[J].IEEETran-s.onInstrum.Meas.,1989,38(4):856-863.[2]NuttallAH.Somewindowwithverygoodsidelobebehavior[J].IEEETrans.ASSP,1981,29(1):84-91.[3]JainVK,CollinsWL,DavisDC.High-accuracy