同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学

1第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.第1节多元函数的基本概念1.1平面点集为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域．1.1.1邻域设000(,)Pxy是xOy平面上的一定点，是某一正数，与点000(,)Pxy的距离小于的点(,)Pxy的全体，称为点000(,)Pxy的邻域，记为0(,)UP，即00(,)UPPPP,亦即22000(,)(,)()()UPxyxxyy．0(,)UP在几何上表示以000(,)Pxy为中心，为半径的圆的内部(不含圆周)．上述邻域0(,)UP去掉中心000(,)Pxy后，称为000(,)Pxy的去心邻域，记作o0(,)UP．o22000(,)(,)0()()UPxyxxyy.如果不需要强调邻域的半径，则用0()UP表示点000(,)Pxy的邻域，用o0()UP表示000(,)Pxy的去心邻域．1.1.2区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系．设E是xOy平面上的一个点集，P是xOy平面上的一点，则P与E的关系有以下三种情形：(1)内点：如果存在P的某个邻域()UP，使得()UPE，则称点P为E的内点．2(2)外点：如果存在P的某个邻域()UP，使得()UPE，则称P为E的外点．(3)边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E的点，也有不属于E的点，则称点P为E的边界点．E的边界点的集合称为E的边界，记作E．例如：点集221,|01Exyxy，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是1E的内点，圆外部的点都是1E的外点，圆心及圆周上的点为1E的边界点；又如平面点集2,|1Exyxy，直线上方的点都是2E的内点，直线下方的点都是2E的外点，直线上的点都是2E的边界点(图9—1)．图9—1显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E．如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，点集221,|01Exyxy是开集，2,|1Exyxy不是开集．设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集(图9—2)．点集E1和E2都是连通的，点集3,|0Exyxy不是连通的(图9—2)．图9—2连通的开集称为开区域(开域)．从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广．3开区域E连同它的边界E构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作E(即=EEE)．闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及224,|1Exyxy都是闭域，而225,|12Exyxy既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包含边界的平面点集．本书把开区域与闭区域统称为区域．如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数r，使,EUOr，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域．记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点．显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如，设226,|01Exyxy，那么点0,0既是6E的边界点又是6E的聚点，但6E的这个聚点不属于6E；又如，圆周221xy上的每个点既是6E的边界点，也是6E的聚点，而这些聚点都属于6E．由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．再如点7111111=1,1(,)(,),,(),2233，，Enn，原点0,0是它的聚点，7E中的每一个点都不是聚点．1.1.3n维空间Rn一般地，由n元有序实数组12,,,nxxx的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn．即12,,,|,1,2,,nniRxxxxRin．n元有序数组12,,,nxxx称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标．类似地规定，n维空间中任意两点12,,,nPxxx与12,,,nQxxx之间的距离为2221122()()()nnPQyxyxyx．前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，0nPR，δ是某一正数，则点0P的δ邻域为00|,,nUPPPPPR．以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念．41.2多元函数的概念1.2.1n元函数的定义定义1设D是nR中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f,使得对于D中的每一个点12,,,nPxxx，都能由f唯一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函数，记为1212,,,,,,,nnyfxxxxxxD．其中12,,,nxxx叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作Df．取定12,,,nxxxD，对应的12,,,nfxxx叫做12,,,nxxx所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为fD［或Rf］，即1212|,,,,,,,nnfDyyfxxxxxxDf．当n=1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作,,yfxxDDR；当n=2时，D为xOy平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作2,,,,zfxyxyDDR，若记,Pxy，则也记作zfP．二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素．多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域.对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域．例1在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为YAKL（其中,,A均为正常数)．这是以K，L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数．该函数的定义域为,|0,0KLKL．例2求函数22ln1xzyxxy的定义域D，并画出D的图形．解要使函数的解析式有意义，必须满足220,0,10,yxxxy即22,|0,,1Dxyxxyxy,如图9—3划斜线的部分．5图9—3图9—41.2.2.二元函数的几何表示设函数,zfxy的定义域为平面区域D，对于D中的任意一点,Pxy，对应一确定的函数值,zzfxy．这样便得到一个三元有序数组,,xyz，相应地在空间可得到一点,,Mxyz．当点P在D内变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时，点M就在空间描绘出一张曲面S(图9—4)．其中,,|,,,SxyzzfxyxyD．而函数的定义域D就是曲面S在xOy面上的投影区域．例如zaxbyc表示一平面；221zxy表示球心在原点，半径为1的上半球面．1.3二元函数的极限二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广．二元函数的极限可表述为定义1设二元函数()zfP的定义域是某平面区域D，P0为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于Ｐ0时，函数值f(P)无限趋于某一常数A，则称A是函数()fP当P趋于P0时的(二重)极限．记为0lim()PPfPA或0()fPAPP，此时也称当0PP时()fP的极限存在，否则称()fP的极限不存在．若0P点的坐标为00(,)xy，P点的坐标为,xy，则上式又可写为00,lim(,),xyxyfxyA或f(x,y)→A（x→x０，y→y０）．类似于一元函数，()fP无限趋于A可用fPA来刻画，点,PPxy无限趋于0000(,)PPxy可用22000()()PPxxyy刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义．6定义2设二元函数()(,)zfPfxy的定义域为D，000(,)Pxy是D的一个聚点，A为常数．若对任给的正数，不论多小，总存在0，当(,)PxyD，且22000()()PPxxyy时，总有(),fPA则称A为()zfP当0PP时的(二重)极限．注①定义中要求0P是定义域D的聚点，是为了保证在P0的任何邻域内都有D中的点．②注意到平面上的点P趋近于0P的方式可以多种多样：P可以从四面八方趋于0P，也可以沿曲线或点列趋于0P．定义1指出：只有当P以任何方式趋近于0P，相应的()fP都趋近于同一常数A时，才称A为()fP当0PP时的极限．如果(,)Pxy以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于000(,)Pxy时，即使函数值()fP趋于同一常数A，我们也不能由此断定函数的极限存在．但是反过来，当P在D内沿不同的路径趋于0P时，()fP趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在．③二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述．例3设222222,0,(,)0,0,xyxyxyfxyxy判断极限,0,0lim(,)xyfxy是否存在?解当(,)Pxy沿x轴趋于(0,0)时，有y=0，于是22,0,0000lim(,)lim00xyxyfxyx；当(,)Pxy沿y轴趋于(0,0)时，有x=0，于是22,0,0000lim(,)lim00xyyxfxyy．但不能因为(,)Pxy以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在．因为当(,)Pxy沿直线0ykxk)趋于(0,0)时，有72222,0,00lim(,)lim(1)1xyxykxkxkfxykxk，这个极限值随k不同而变化，故,0,0lim(,)xyfxy不存在．例4求下列函数的极限：(1),0,024limxyxyxy；(2)222,0,0limxyxyxy；(3)22,0,0ln1limxyxyyxy．解(1),0,0,0,0,0,02411limlimlim42424xyxyxyxyxyxyxyxyxy．(2)当0,0xy时，220xy，有222xyxy．这时，函数22xyxy有界，而y是当x→0且y→0时的无穷小，根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，得222,0,0lim0xyxyxy．(3)222222,0,0,0,0,0,0ln1limlimlim1xyxyxyxyxyxyxyyxyxy．从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同．1.4二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性．定义3设二元函数(,)zfxy在点000(,)Pxy的某邻域内有定义，如果00,0,0lim.(,)xyfxyfxy,