微分方程解法

第八章微分方程与差分方程简介8.1微分方程的基本概念8.2可分离变量的一阶微分方程8.3一阶线性微分方程8.4可降阶的高阶微分方程8.5二阶常系数线性微分方程8.6微分方程应用实例退出第八章微分方程与差分方程简介我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。8.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。解设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：）式两端积分，得对（及条件1)2(2)1(21xyxdxdy例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为－42/sm,问汽车是否会撞到小孩？)4(1132)3(222xyccxydxxy，则所求曲线方程：），可得）代入（将条件（＋即解设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：)10(102)9(104,080710)8(2)7(45)6(10,0)5(42200212100022ttStvcSvctctSctdtdsvdtdsvSdtsdttttt从而得到得）式，代入（）式中，将条件代入（将条件在积分一次，得）式两端积分一次，得对（及条件在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：都是微分方程。导数，它们）式都含有未知函数的）式和（上述两例中，（。所以汽车不会撞到小孩（米）515.125.2105.222S二.微分方程的基本概念凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differentialequation）.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如)11()(22xfqydxdypdxyd)13(01)12(2nndxydxydxdy等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。的解，称为微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解所研究系统所处的初始的定解条件，即根据或形如10,100000ttxdtdSSy时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件（initialvaluecondition）.初值条件的个数通常等于微分方程的阶数，一阶微分方程的初值条件一般为件二阶微分方程的初值条;00yyxx都是给定的值。其中00000,,.,00yyxyyyyxxxx从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integralcurve).如cxy2是方程（1）的积分曲线族,而）点的一条积分曲线。，只是其中过（2112xy8.2可分离变量的一阶微分方程一阶微分方程（differentialequationoffirstorder）而另一端只含的函数和端只含的形式，即可表示为一如果能化成,)2()()()1(),(dyydxxfdyygyxfy(differentialequationofseparatedvariables).的微分方程。的方程均为可分离变量形如0)()()()()()(2121xQxQdxyPxPygxfdxdy离变量的微分方程那么原方程就称为可分的函数和,dxx为任意常数。其中可得到微分方程的通解）式两端分别积分，便对（C2Cdxxfdyyg)()(例1求微分方程的通解。yxy23解首先分离变量，得313113132ln31xCxCCxCeyCeeeyeyCxydxxdyy，则所求得通解为仍是任意常数，令其为因或即两端积分，得以后为了方便起见，我们可把但要写成,lnlnyy记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程dyxydxyx)1()1(22的通解即在条件下的特解10xy解分离变量，得)1(1ln21)1ln(21)1ln(2111222222xCyCxydxxxdyyy＋即两端积分，得xyCyx从而所求特解为确定再利用初值条件,1,11例3种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数的最大容量为b，则种群生长速度不仅与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子bNb成正比，试确定种群生长规律。bkaNNbadtdNNbNbkdtdN其中或：解由题设条件可得方程)(CabtNbNabdtdNNbNNbNadtNbNdNlnln)()()(得两边积分分离变量，得。这就是种群的生长规律于是abtabtabtabteCbCeCbeNCeNbN1118.3一阶线性微分方程分方程的方程叫做一阶线性微形如)1()()(xQyxPy（lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数的一次式。y的解法。齐次微分方程我们先来讨论一阶线性方程。）成为线性非其次微分时，方程（当程；）称为线性其次微分方则方程（如果)2(0)(10)(1,0)(yxPyxQxQCdxxPydxxPydyln)(ln)(2.＋两端积分，得后，得方程，分离变量）是可分离变量的微分方程（一阶线性齐次微分方程一.012ln1)(CxCeCeyyxyCeyxdxxdxxP的通解为比如线性齐次微分方程）的通解。程（这就是线性齐次微分方即二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）当的特殊0)(xQ它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成X的待定函数C（x）,即令情形，可以设想,）的解。就是方程（）则（）（）中，若由此能确定出将它代入方程（14,1)4()()(xCexCydxxPdxxPdxxPexCxPedxxdCdxdy)()()()()(4）式可得事实上，由（CdxexQxCexQxCxQexCxPexCxPedxxdCdxxPdxxPdxxPdxxPdxxP)()()()()()()()()()()()()()()(1积分得即）式中，有代入（)5()(14)()(CdxexQeydxxpdxxP通解：）的性非其次方程（）式，就得到了一阶线将其代入（上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（methodofconstant）.将（5）式改写成两项之和的形式dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的结论。对应齐次方程利用常数变易法，先求方法一，其中它是一阶线性微分方程将方程改写为解的通解求方程例xexQxxPxexyyeyyxxxx)(,1)(1Cxydxxdyyyxylnlnln1101两边积分，得量：的通解，为此，分离变)(1)()()(),(CexyCexCexCxxCyxCxCxCyxxx于是原方程的通解为解得原方程，经整理得代入并将的待定函数换成将或方法二直接利用非齐次方程的通解公式（5），得)()(lnln11CdxexeeCdxexeeyxxxdxxxdxx)(1)(1CexCdxexxx），得代入公式（程，其中这是一阶线性非齐次方原方程可化为例51)(,2)(12222xxxQxxPxxxydxdy)1(222Cexxeydxxdxx21222222ln22ln221121,21,0)12(1)1(1)1(xxyCyxCxxxCdxxxxxCdxexxexxx故所求特解为得再由初值条件自变量，则原方程化为作为看作未知函数，但若把线性微分方程的一阶未知函数显然这个方程不是关于解的通解。＋求方程例yxydyyxydx,)3(34233)(,3)(3yyQyyPxyxydydx其中的一阶线性微分方程，这是关于未知函数3433ln33ln3333)()()(5CyyCyyCdyyCdyeyeCeyexyydyydyy）（），得代入通解公式（方程的方程称为伯努利微分形如伯努利微分方程三)6()1,0()()(.nyxQyxPdxdyn(Bernoullidifferentialequation).分方程。性微代换，把它化为一阶线时，我们可以通过变量方程，当时，就是一阶线性微分或当1,010nnn)()()(11)()(111xQyxPdxydnxQyxPdxdyyynnnnn或，得方程两边同时除以)()1()()1(,1xQnzxPndxdzyzn则上式可化为引入新的未知函数255256662151)(511.4xydxydxyxdxdyyyyxxydxdyzyzn即除方程两端，得，以解此方程为伯努利方程的通解求方程例通解。程的，便可以得到伯努利方代替通解后，以求出其的一阶线性微分方程，这是关于未知函数，则上述方程成为令5yz5325ln52ln5525225)25()5()5(55CxxCxxCdxexeCdxexezxzxdxdzxxdxxdxx得方程，代入通解公式，这是一个一阶线性微分5355251Cxxyzy，得所求方程的通解为代替以8.4可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程（differentialequationofhigherorder）.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的