单变量函数的微分

2-1单变量函数的微分学及应用第二章2-2第二章基本内容导数与微分经济学概念导数与微分的应用（II）–供求理论–消费理论–厂商理论–市场理论导数与微分的应用（I）–Lagrangian中值定理与Taylor中值定理–函数单调性–函数凹凸性–函数的极值2-3导数与微分变量与函数–变量经济学中的实际问题，往往由许多因素组成．可分为两类：1)原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）；2)结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）．–函数我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述2-4导数定义–设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S，则f(x)在x0处的导数定义为0xxdxdy000')()(lim)(0xxxfxfxfxxxxfxxfxfx)()(lim)(0000'或称f(x)为定义在S上的导函数．由导数定义可知f(x+1)f(x)f(x)（参见后面的应用）2-5导数（续）几何解释–f(x0)是函数f(x)的图形在点(x0，f(x0)点处切线的斜率，该点处切线的方程为yf(x0)=f(x0)(xx0)经济解释–经济学中许多重要的概念是用导数来刻划的；–数学上的导数，对应着经济学上的边际；–利用导数进行经济分析，简称边际分析；–例如，需求量Qd=f(P)对价格P的导数f(P)称为价格的边际需求量．2-6导数（续）经济应用－－经济学中的边际概念–经济学中的边际概念定义为一个经济量X在原有值X0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量F(X)的增量，数学上表示为F(X0+1)F(X0)F(X0)．–劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量；假设生产函数为Q=F(L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为F(L0+1)F(L0)F(L0)．2-7导数与微分（续）例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，L0=100。计算知F'(L0)=F'(100)=0.025，F(101)F(100)=0.0249．可见导数F(100)是边际产量F(101)F(100)的一个很好的近似值–尽管F'(X)不能精确表示由X增加一个单位而导致的F(X)的增加量，但经济学家们仍然用它来表示F(X)的边际变化．这是因为1）单一项F'(X)比差F(X+1)F(X)简单；2）F'(X)避免了“用何单位度量X增加一个单位”这一问题．2-8微分定义–设y=f(x)是定义在集合S上的一元函数，x0S．给定自变量x的一个增量x，若函数的增量y可表示为：y=f(x0+x)f(x0)=Ax+o(x)则称函数f(x)在x0处可微，并称Ax为函数f(x)在x0处的微分，记作dy|x=x0=Ax或dy|x=x0=Adx．微分的计算–若函数f(x)在x0处可微，则dy|x=x0=f(x0)x．2-9微分（续）微分的应用–微分可用于近似计算．这是因为由微分的定义可知y=f(x0+x)f(x0)f(x0)x或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x.–在前面知道可用导数计算某个经济量x增加一个单位时相应的另一个经济量的变化．若经济量X增加X个单位，则可用上式式计算相应的另一个经济量F(X)的变化．2-10导数与微分（续）–例如，设有生产函数Q=F(L)=L1/2/2，将劳动力L由900个单位削减到896个单位，试估计产量的变化和在L0=896处的新产量．–解：Q=f(900)(896900)=1/30单位F(896)=F(900)+Q=14.9667单位2-11Lagrangian中值定理–若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立f(b)f(a)=f()(ba).–几何解释：在弧AB上至少有一点C，使曲线f(x)在C点处的切线平行于弦AB．OCABabf(x)2-12Taylor中值定理设x0(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶的导数，则当x(a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立)()(!)()(2)())((')()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中称作Taylor余项当n=0时，Taylor公式成为Lagrangian中值公式，因此Taylor中值定理是Largrangian中值定理的推广．2-13应用(I)单调性、凸凹性、极值介绍Largrangian中值定理和Taylor中值定理在函数的单调性、极值和凹凸性等方面的应用．–函数单调性的判定–函数凹凸性的判定–函数的极值2-14应用(I)单调性f(x)单调的充分条件–设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)0；(2)f(x)在[a，b]上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f'(x)0．证明：由Largrangian中值定理证明．–几何解释：f(x)在[a，b]上严格单调增加（或减少）等价于f(x)图形上任一点处的切线与x轴的正向的倾角小于（或大于）900函数的单调性在经济学中用于比较静态分析等．2-15应用(I)单调性（续）f(x)严格单调的必要条件–设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f'(x)0，则(1)f(x)在[a，b]上严格单调增加的必要条件是在(a，b)上恒有f'(x)0；(2)f(x)在[a，b]上严格单调减少的必要条件是在(a，b)上恒有f'(x)0．证明：可由导数的定义证明．2-16应用(I)单调性（续）f(x)单调的充分条件若对任意x1，x2(a，b)，f(x2)（或）f(x1)+f(x1)(x2x1)，则f(x)在(a，b)上单调增加（减少）．f(x)是单调减少的x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)–几何解释：f(x)在[a，b]上单调增加（或减少）等价于f(x)图形上任一点处的切线在f(x)图形的下方（或上方）．2-17应用(I)凸凹性（续）凸凹性定义–（1）称函数f(x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若对任意）[0，1]，对任意x1，x2(a，b)，恒有下式成立f(x1+(1)x2)（或）f(x1)+(1)f(x2)–（2）若对任意(0，1)，对任意x1，x2(a，b)且x1x2，恒有上式中的严格不等式成立，则称函数f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数．–由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（或凹）函数．2-18应用(I)凸凹性continued凸凹性几何意义所以f(x)是凹函数x1x2f(x2)x3=x1+(1)x2f(x1)f(x3)=f(x1+(1)x2)f(x1)+(1)f(x2)Ox32-19应用(I)凸凹性continued凸凹性判断法–判定法之一（利用一阶导数）设函数f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为凸（或凹）函数的充要条件是对任意x1，x2(a，b)有f(x2)（或）f(x1)+f(x1)(x2x1)当上面的严格不等式对任意x1，x2(a，b)且x1x2成立时，即为严格凸（或凹）函数的充要条件．2-20应用(I)凸凹性continued几何意义x1x2f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)f(x1)f(x)是凹函数f(x2)f(x1)+f(x1)(x2x1)–几何解释：f(x)是[a，b]上的凹函数（或凸函数）等价于f(x)图形上任一点处的切线在f(x)图形的上方（或下方）．2-21应用(I)凸凹性continued凸凹性判断法–判定法之二（利用二阶导数）若函数f(x)在(a，b)上是二阶连续可微的，则f(x)是(a，b)上的凸（或凹）函数的充要条件是对任意x(a，b)有f(x)0(或f(x)0)，而f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数的充分条件是上面的严格不等式成立．–几何意义凸函数2-22应用(I)函数的极值极值的必要条件–设函数f(x)在x0可导，且在x0取得极值，则f(x0)=0–几何解释：曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平的．x02-23应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(I)–（一阶充分条件）设f(x)在x0的一个领域内可导且f(x0)=0．（1）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号恒为负，则f(x)在x0处取得极大值;（2）若x取x0左侧邻近的值时，f(x)的符号恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f(x)的符号恒为正，则f(x)在x0处取得极小值．2-24应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(II)–（二阶充分条件）设f(x0)=0，f(x)在x0处具有二阶导数且f(x0)0．（1）当f(x0)0时，f(x)在x0处取得极大值（2）当f(x0)0时，f(x)在x0处取得极小值2-25应用(I)函数的极值（续）极值的充分条件(III)–（N阶充分条件）设f(x0)=f(x0)==f(N1)(x0)=0，f(N)(x0)0．（1）当N为偶数且f(N)(x0)0时，f(x)在x0处取得极大值；（2）当N为偶数且f(N)(x0)0时，f(x)在x0处取得极小值；（3）当N为奇数时，(x0，f(x0))为拐点．练习：考虑函数y=x3和y=x6+6极值点和拐点．2-26应用(I)函数的极值（续）几类特定函数的最大值和最小值–只有一个驻点x0(f(x0)=0)的函数．设a）f(x)的定义域是一个区间I；b）x0是f(x)在区间I上的唯一驻点；c）x0是f(x)的（局部）极值点．则x0是f(x)在区间I上的（全局）最值点–二阶导数处处非零的函数若f(x)是区间I上的二阶连续可微函数，且f(x)在区间I上处处非零，则f(x)在区间I上至多有一个驻点．若有一个驻点x0，则x0是最值点．若f(x0)0，则x0是最小值点；若f(x0)0，则x0是最大值点．2-27应用(I)函数的极值（续）–没有最大值或最小值的函数定义域为开区间的函数不一定有最大（或小）值，如函数f(x)=x33x．定义域为开区间的严格单调增加的函数（或严格单调减少的函数）没有最大值（或最小值）同时，有这样的函数，有最小值，但无最大值，如f(x)=x4；也有这样的函数，有最大值，但无最小值，如f(x)=x4．2-28应用(I)函数的极值（续）–定义域是闭区间的函数：Weierstrass定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值．–凸（凹）函数设f(x)是区间I上的凸（或凹）函数，x0I是它的极小点（或极大点），则x0一定是f(x)的最小（或最大）值点．2-29应用(II)经济学供求理论消费理论厂商理论市场理论2-30应用(II)供求理论需求向下倾斜规律–观察由需求表得到的需求曲线Qd=f(p)，它是向下倾斜的；换言之，需求量与价格成反向变动．–数学上描述为0pQd或0dpdQd供给向上倾斜规律–供给曲线是向上倾斜的，即随着价格的增加，供给量也增加．数学上描述为0pQs或0dpdQs（1）如何度量价格对需求的影响？（2）边际需求是否受价格和需求量的单位的影响？2-31应用(II)供求理论（续）需求弹性–价格的变化如何影响需求的变化？可用需求函数Qd=F(p)关于价格p的导数F(p)来衡量，F(p)称作边际需求．–边际需求是否受价格和需求量的单位的影响？–例如，设价格增加1角导致汽油