南航07-14矩阵论试卷

南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007~2008学年《矩阵论》课程考试A卷一、（20分）设矩阵111322211A，（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A的最小多项式，并计算IAA236；（4）写出A的Jordan标准形。二、（20分）设22R是实数域R上全体22实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。（1）求22R的维数，并写出其一组基；（2）设W是全体22实对称矩阵的集合，证明：W是22R的子空间，并写出W的维数和一组基；（3）在W中定义内积WBABAtrBA,),(),(其中，求出W的一组标准正交基；（4）给出22R上的线性变换T：22,)(RAAAATT写出线性变换T在（1）中所取基下的矩阵，并求T的核)(TKer和值域)(TR。三、（20分）（1）设121312A，求1A，2A，A，FA；（2）设nnijCaA)(，令ijjianA,*max，证明：*是nnC上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1AAAn。四、（20分）已知矩阵100100011111A，向量2112b，（1）求矩阵A的QR分解；（2）计算A；（3）用广义逆判断方程组bAx是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。五、（20分）（1）设矩阵15.025.011210,2223235ttBttA，其中t为实数，问当t满足什么条件时,BA成立？（2）设n阶Hermite矩阵022121211AAAAAH，其中kkCA11，证明：0,012111122211AAAAAH。（3）已知Hermite矩阵nnijCaA，niaaijijii,,2,1，证明：A正定。2007~2008学年《矩阵论》课程考试B卷一．（20分）已知矩阵040041221A，（1）求A的不变因子、初等因子及最小多项式；（2）求A的Jordan标准形J及可逆变换矩阵P，使得1PAPJ；（3）问矩阵序列kA是否收敛？.二．（20分）（1）已知矩阵210023120A，求12,,,;FAAAA（2）设A为n阶可逆矩阵，是nnC上的相容范数，为A的任一特征值，证明：11AA。三．（20分）3[]Rx表示实数域上次数不小于3的多项式与零多项式构成的线性空间，对3()[]fxRx，记Rcbacbxaxxf,,,)(2其中，在3[]Rx上定义线性变换：).4()322(3)]([2cbaxcbaaxxfT（1）给出3[]Rx的一组基，并求出线性变换T在该基下的表示矩阵；（2）求线性变换T的特征值和特征向量；（3）判断线性变换T是否可对角化？若可以，给出对角化的一组基；若否，证明之。四．（20分）（1）设241112121221A，试给出A的满秩分解，并计算A；（2）设402b，利用广义逆矩阵判断线性方程组Axb是否相容？若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。五．（20分）（1）设53201232,110.52220.51AtBttt,其中t是实数，问t满足什么条件时，AB成立？（2）设A为n阶Hermite矩阵，对任意,0nxCx，记xxAxxxRHH)(，证明：minmax()()(),0ARxAx。（3）设n阶Hermite矩阵11121222HAAAAA，其中11(1)kkACkn，如果111221211120,0,HAAAAA证明：0A。2008~2009学年《矩阵论》课程考试A卷一（20分）设81630314210A,（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；（3）写出A的Jordan标准形。二（20分）（1）设110111A，求12,,,FAAAA；（2）设是nnC上的相容矩阵范数，证明：（i）如果A是n阶可逆矩阵，是A的任一特征值，则11||AA；（ii）如果nnPC是可逆矩阵，令APPAP1，则PA是nnC上的相容矩阵范数。三（20分）设101010101A，122b，（1）作出A的满秩分解，计算A；（2）应用广义逆矩阵判定线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；（3）设A是nm实矩阵，b是m维实向量，证明：不相容线性方程组bAx的最小二乘解唯一当且仅当A列满秩。四(20分)设V表示实数域R上全体22上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加法和数量乘法）。（1）求V的维数，并写出V的一组基；（2）在V中定义线性变换T：10100011)(XXXT,VX求T在（1）中所取基下的矩阵表示；（3）求（2）中线性变换T的值域)(TR和核)(TN，并确定它们的维数；（4）在V中能否取一组基使得（2）中线性变换T在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一组基；如果不能，则说明理由。五（20分）设)(ijaA为n阶Hermite矩阵，证明：存在唯一Hermite矩阵B使得3AB；（2）如果0A，则22()(())trAtrA；（3）如果0A，则1()()trAtrAn。2009~20010学年《矩阵论》课程考试A卷一、（20分）设411301621A，（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的不变因子、初等因子和最小多项式；（3）写出A的Jordan标准型J；（4）求可逆矩阵P，使1PAPJ。二、（20分）（1）设102221A，求12,,,FAAAA；（2）设nnijCaA)(，令*,max||ijijAna，证明*是𝐂𝐧×𝐧上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）设A,B均为n阶矩阵，并且AB=BA，证明：如果A有n个互异的特征值，则B相似于对角矩阵。三、（20分）设表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。（1）在中定义线性变换T：222222)(23)(4)1(xxTxxxxTxxxT求变换T在基21,,xx下的矩阵；（2）求T的值域R(T)和核ker(T)的维数和基；（3）求线性变换T的特征值及特征向量；（4）在3][xR中定义内积41)()(),(dxxgxfgf,3][)(),(xRxgxf求出3][xR的一组标准正交基。四、（20分）（1）设4140104ttA，其中t为实参数，问t取何值时A正定；（2）设A是n阶Hermite矩阵，证明：A半正定的充分必要条件是A的特征值均为非负实数；（3）已知n阶矩阵0A，证明1||IA，并且等号成立的充分必要条件为A=0。五、（20分）（1）121111111A，111b(i)做出A的满秩分解，并计算A；(ii)用广义逆矩阵判定线性方程组Ax=b是否相容，若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解；（2）设A,B,C分别为nm,qp,qm矩阵，则矩阵方程AXB=C有解的充分必要条件是AACBBC。2010~2011学年《矩阵论》课程考试A卷一（20分）（1）设234468678A。（i）求A的特征多项式和A的全部特征值；（ii）求A的行列式因子，不变因子和初等因子；（2）设1761460,4516313AB，试问A和B是否相似？并说明原因。二（20分）（1）设132112A，求1A，2A，A，FA；（2）设nnCA的特征值为n,,,21，求证：(i)niFiA122；(ii)niFiA122的充要条件是A为正规矩阵。三（20分）设2210,,12AWXAXXAXR（1）证明：W是22R的线性子空间，并求W的基和维数；（2）在W中定义变换*:()TTXXX,其中*X为X的伴随矩阵，证明：T为线性变换；（3）求T在（1）中所取基下的矩阵表示；（4）求（2）中线性变换T的值域)(TR和核()KerT，并确定它们的维数.四（20分）设mnAR。（1）证明：TAA半正定；（2）证明：||1TIAA，并且等号成立当且仅当0A；（3）证明：211||()nmTikikAAa；（iii）写出A的Jordan标准形；（4）证明：存在唯一的对称半正定矩阵S使得2TAAS。五（20分）（1）设110111A，011b.（i）求A的奇异值分解；（ii）计算广义逆矩阵A；（iii）用广义逆矩阵判定线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解;（2）设0.20.30.60.5A，判定矩阵级数0(1)kkkA是否收敛。若收敛，求其和。2011~2012学年《矩阵论》课程考试A卷一（20分）设3615125125A。（1）求A的特征多项式和A的全部特征值；（2）求A的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式；（3）写出A的Jordan标准形J。二（20分）（1）设211203A，求FAAAA,,,21；（2）设nmijCaA)(，证明：（i）对m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V，有FFUAVA；（ii）若()rankAr，r,,,21为A的全部正奇异值，则22111rmnkijkija。三（20分）设110101101211A，304b.（1）计算A的满秩分解；（2）计算广义逆矩阵A；（3）用广义逆矩阵判定线性方程组bAx是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。四（20分）（1）设210133032A，判断A是否是正定或半正定矩阵，并说明理由；（2）设A是n阶Hermite正定矩阵，B是n阶Hermite矩阵，证明：AB相似于实对角矩阵；（3）设A，B均为n阶Hermite矩阵，并且ABBA，是AB的特征值，证明：存在A的特征值和B的特征值，使得。五（20分）设3[]Rx表示实数域R上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间。（1）确定3[]Rx的维数，并写出3[]Rx的一组基；（2）对20123()[]fxaaxaxRx，在3[]Rx上定义线性变换T如下：2011220(())()()()Tfxaaaaxaax，求T在（1）中所取基下的矩阵表示；（3）求（2）中线性变换T的值域)(TR和核()KerT，并确定它们的维数；（4）在3[]Rx中定义内积131(,)()(),(),()[]fgfxgxdxfxgxRx求3[]Rx的一组标准正交基。2012~2013学年《矩阵论》课程考试A卷一、(20分)设22112222211211aa|aaaaRV是22R的一个线性子空间，对任意VX，定义：XPPXXT)(，其中0110P.(1)