圆周卷积与周期卷积线性卷积的关系与计算

圆周卷积与周期卷积、线性卷积的关系及计算一、三者关系设：1122()01()01xnnNxnnNN：圆周卷积的点数圆周卷积是周期卷积的主值序列。周期卷积：1120()()()Nmynxmxnm（1）圆周卷积：1120()()()[()(())]()NcNNNmynynRnxmxnmRn1210[()(())]()NNNmxmxnmRn（2）注意：（2）式直接使用的前提是圆周卷积的点数N应满足：12max[,]NNN（一般题目均符合此种情况）周期卷积是线性卷积的周期延拓。线性卷积：1112120()()*()()()Nlmynxnxnxmxnm2121210()()()*()Nmxmxnmxnxn（4）圆周卷积与线性卷积的关系：()[()]()clNrynynrNRn（5）注意：上述关系式对任意长度的圆周卷积均适合。二、举例说明1、对于12max[,]NNN的情况，各教材例题很多，不再举例。2、12NNNN或的情况。习题8.已知序列()()2(1)(4)3(5)xnnnnn,4()()ynRn，求：（1）()()*()znxnyn（2）()()fnxn○5()yn（5点圆周卷积）。解：(){1,2,0,0,4,3},(){1,1,1,1}xnyn（1）()()(){1,3,3,3,3,4,4,4,3}znxnyn（过程略）（2）()()fnxn○5()yn（5点圆周卷积），N=5。*利用圆周卷积与线性卷积的关系计算*()[()]()[...(5)()(5)...]()NNrfnznrNRnznznznRn-5-4-3-2-1012345678910n133334443z(n+5)133334443z(n)133334z(n-5)57763f(n)主值区间所以：()()fnxn○5()yn={5,7,7,6,3}这种方法计算过程比较简单，但前提是先计算出线性卷积的结果。三、结论圆周卷积的计算始终要记住一点：圆周卷积虽然是针对有限长序列的卷积运算，但它是由周期卷积推导而来的，故隐含了周期性。（2）式虽然是圆周卷积的定义式，但要正确理解，灵活应用。它是在满足12max[,]NNN的前提下由周期卷积推导而来的，其适用场合仅限于12max[,]NNN的情况。对于12NNNN或的情况，要从圆周卷积与周期卷积的关系出发，利用（3）式进行计算。