圆与圆圆与正多边形的关系

专题七圆第三讲圆与圆、圆与正多边形的关系考点搜索考点动态考点时间出处题号题型分值展示两圆的位置关系2013云南八地6选择题3圆与圆的位置关系2011云南保山15选择题3圆与圆的位置关系2012云南玉溪14填空题8考点解读考点目标解读两圆的位置关系了解两圆的位置关系：相离、相切（内切与外切）相交，了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。两圆的位置关系的判定关键是计算两半径的和与差，用计算的结果和圆心距相比较，根据圆与圆的数量关系来判定位置关系.正多边形的性质一般的在综合题目中出现。正多边形与圆的关系。考点互动考点一圆与圆的位置关系【必记必背】圆与圆的位置关系：当两个圆的圆心之间的距离大于两圆半径之和的时候，两圆外离；当两个圆的圆心之间的距离等于两圆半径之和的时候，两圆外切.当两个圆的圆心之间的距离大于大圆半径与小圆半径之差，并且，小于两圆半径之和的时候，两圆相交.当两个圆的圆心之间的距离等于大圆半径与小圆半径之差的时候，两圆内切.当两个圆的圆心之间的距离小于大圆半径与小圆半径之差的时候，两圆内含.【活学活用】两圆的位置关系的判定关键是计算两半径的和与差，用计算的结果和圆心距相比较，根据圆与圆的数量关系来判定位置关系.一般常出的题目是判断相交.内切或外切.例1（2013，云南八地）已知⊙O1的半径是3cm，⊙2的半径是2cm，O1O2=cm，则两圆的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【考点】圆与圆的位置关系；估算无理数的大小【解析】由⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别为3cm、2cm，且圆心距O1O2=cm，又∵3+2=5＞，3﹣2=1，∴两圆的位置关系是相交．故选C．【命题立意】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．练习1（2011，云南保山）如图，已知⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，⊙B的半径为3，当⊙A与⊙B相切时，⊙A的半径是（）A、2B、7C、2或5D、2或8【考点】圆与圆的位置关系；勾股定理。【专题】分类讨论。【解析】根据切线的性质可以求得BC的长，然后根据相切两圆的两种情况分类讨论即可．解：∵⊙B与△ABD的边AD相切于点C，AC=4，∴BC=3，AB=5，∵⊙A与⊙B相切，∴当两圆外切时，⊙A的半径=5﹣3=2，当两圆内切时，⊙A的半径=5+3=8．故选D．【命题立意】本题考查了两圆之间的位置关系及勾股定理的知识，解题的关键是分类讨论，小心将另外一种情况漏掉．考点二【必记必背】1.正多边形与圆（1）正多边形的中心与半径：正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径.（2）正多边形的中心角：正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正几边形的每个中心角都等于360n2.正多边形的边心距:内切圆的半径叫做正多边形的边心距.3.正多边形的性质：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．【活学活用】例2（2013，云南昭通模拟）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3B．：2C．1：2D．：2【考点】正多边形和圆．【解析】首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．解：如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AC=AB=a，∴OC==a，∴正六边形的边心距与边长之比为：a：a=：2．故选B．【命题立意】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．练习2（2013，云南保山模拟）如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O（使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（）A．4B．5C．6D．7【考点】正多边形和圆．【解析】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即让周角除以30的倍数就可以解决问题．解：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．因此n的所有可能的值共五种情况，故选B．【命题立意】本题考查了正多边形和圆，只需让周角除以30°的倍数即可．考点激活1.（2013，云南红河模拟）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形【解析】利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．解：360÷36=10．故选C．2.（2013，云南曲靖模拟）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=2或0．解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3﹣1=2，解得t=0．∴t为2或0．故答案为：2或0．3.(2012，云南玉溪)如图，在△ABC中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为cm2．（结果保留π）．答案：234.（2013，贵州毕节模拟）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是a，b，且a、b满足，圆心距O1O2=5，则两圆的位置关系是外切．【解析】解：∵，∴a﹣2=0，3﹣b=0解得：a=2，b=3∵圆心距O1O2=5，∴2+3=5∴两圆外切，故答案为：外切．5.（2013，贵州六盘水）若⊙A和⊙B相切，它们的半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为10或6cm．【解析】本题应分内切和外切两种情况讨论．解：∵⊙A和⊙B相切，∴①当外切时圆心距AB=8+2=10cm，②当内切时圆心距AB=8﹣2=6cm．故答案为：10或6．6.（2013福建福州）矩形的外角和等于度．解：矩形的外角和等于360度．故答案为：360．7.（2013台湾）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【解析】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．10、(2013江苏南京)△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形。若△OAB的一个内角为70，则该正多边形的边数为。答案：9【解析】若∠OAB＝∠OBA＝70°，则∠BOA＝40°，边数为：36040＝9；若∠BOA＝70°，则边数为：36070不可能，因此，边数为9。21、（2013，湖南张家界）如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心，则图中阴影部分的面积是．【解析】根据三角形内角和定理以及扇形面积公式直接求出即可．解：∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，∴阴影部分的面积是：=．故答案为：．11、（2013，云南大理模拟）如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，则正八边形的面积为40cm2．【解析】根据正八边形的性质得出正八边形每个内角以及表示出四边形ABGH面积进而求出答案即可．解：连接HE，AD，在正八边形ABCDEFGH中，可得：HE⊥BG于点M，AD⊥BG于点N，∵正八边形每个内角为：=135°，∴∠HGM=45°，∴MH=MG，设MH=MG=x，则HG=AH=AB=GF=x，∴BG×GF=2（+1）x2=20，四边形ABGH面积=（AH+BG）×HM=（+1）x2=10，∴正八边形的面积为：10×2+20=40（cm2）．故答案为：40．