圆锥曲线与导数的专题复习建议

圆锥曲线与导数的专题复习建议湖州中学倪新华圆锥曲线和导数这两块内容在高考中的地位不言而喻，经过第一轮的复习学生关于圆锥曲线和导数的基础知识有了较为系统的认识，那么在第二轮复习中应着重强调本章综合题型解题方法的归纳与总结及与其他知识点的交汇处命题的研究与探讨，本文结合圆锥曲线与导数的特点就专题复习提出自己的一些个人建议，供广大同行参考。【圆锥曲线的专题复习】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。所以，如何做好这章的专题复习是每位高三数学教师的当务之急。（一）圆锥曲线的特点研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。结合历届高考对本章的考查以及历届学生对本章的反映，此专题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。因此，在很大程度上成为学生能力和心理上的一道难以逾越的障碍。（二）考纲对圆锥曲线的阐述考试内容：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。（4）了解圆锥曲线的初步应用。（三）圆锥曲线专题复习的备课基于圆锥曲线的特点，我们在复习之前的备课非常关键。涉及圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长求法，标准方程的求法，与圆锥曲线有关的几何性质问题、最值问题、证明问题、角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题。所以在备课时应特别重视每一类题型中的“母题”，所谓母题，是指它的典型性和代表性足以通过改变条件或结论衍生出各种各样的题目，称谓子题。找准合适的母题，即抓住了重点，又可以节省时间，从而又可以将不同的方法和技巧加以渗透。所以，在高考复习中备好母题必将事半功倍。案例：关于圆锥曲线中角的问题的母题【母题】椭圆22194xy的焦点为12,FF，点P为椭圆上的动点，当12FPF为直角时，求点P的坐标。分析：本题的解法有：（1）设点P的坐标，利用焦半径公式结合勾股定理，从而求得点P的横坐标。（2）设点P的坐标，利用点积为零是向量垂直的充要条件，求得点P的坐标。【子题1】椭圆22194xy的焦点为12,FF，点P为椭圆上的动点，当12FPF为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。分析：在解析几何中遇到钝角、锐角的问题时，应更多的想到向量这个工具，由此就可以作为上述母题解答方法（2）的进一步延伸。即把12FPF构造为两向量12PFPF、的夹角，此夹角为钝角时，12PFPF为负数，即可求得点P的横坐标的范围。当然，我们还可以发挥学生的创造力，很容易挖掘出“当12FPF为锐角时”、“求点P的纵坐标的取值范围”或者“焦点三角形”等相应子题。这样的子题学生很容易接受，在教学中一般不易被忽视。但有些子题的挖掘就比较困难，需要教师的深思熟虑和精心准备。例如：【子题2】（2006·湖北卷）设,AB分别为椭圆22221(,0)xyabab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,APBP分别与椭圆相交于异于,AB的点MN、，证明点B在以MN为直径的圆内。21-1-2-3-4-224BAMN分析：（Ⅰ）易得椭圆的方程为13422yx.（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.∵M点在椭圆上，∴y0＝43（4－x02）.①又点M异于顶点A、B，∴－2x02，由P、A、M三点共线可以得P（4，2600xy）.从而BM＝（x0－2，y0），BP＝（2，2600xy）.∴BM·BP＝2x0－4＋26020xy＝220x（x02－4＋3y02）.②将①代入②，化简得BM·BP＝25（2－x0）.∵2－x00，∴BM·BP0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内。点评：此题的证明思路为证明B点在以MN为直径的圆内∠MBN为钝角∠MBP为锐角BM·BP0所以解这题的思路本质是对上述母题的向量方法的充分理解。我们有时候还可以在母题上设置一些小小的陷阱，从而培养学生在解题时克服困难、严密谨慎的能力。【子题3】椭圆22194xy的焦点为12,FF，点P为椭圆上的动点，满足12FPF为直角三角形，这样的点P共有个。分析：这题的陷阱是“12FPF为直角”并不等同于“12FPF为直角三角形”，所以答案应为8个。【子题4】已知向量),1,(),1,2(tba且向量a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是。分析：这题的陷阱是“0ab”并不是“向量a与b的夹角为钝角”的充要条件，而只是必要条件，所以答案中必须排除“向量a与b共线但方向相反”这一特例。综上所述，一个“母题”几乎可以发散出所有类型的“子题”，因此我们教师在圆锥曲线的备课中，备好几个高品质的“母题”显得尤为关键。（四）圆锥曲线专题复习的课堂教学作为第二轮专题复习，一般来说不论是我们的学生还是教师，都认为应该更多地注重解题方法的培养，而对于一些运算过程可以省去。当然这样的做法不无道理，因为到了高三，一般学生在课堂上如果知道了方法，计算一般是不成问题的。然而，对于圆锥曲线的课堂板演，我认为课堂上只有方法技巧的授予，而没有计算过程的板演是远远不够的。本人就“考试中的圆锥曲线题”对许多学生做了调查，结果显示近8成的学生知道怎么做但却总是算错，甚至根本就算不出来。究其原因主要有以下两条：（1）平时缺少计算能力的训练；（2）有些题看似方法简单，很好做，但是在具体计算过程中会遇到难以想象的、无法预料的困难；而有些题看似复杂，很难受，比如三次、四此因式，但是在具体操作时却能约去，问题其实很简单。所以，我们知道，在圆锥曲线的课堂教学中，教师应适当与学生一起计算问题的整个过程，一起享受这个过程所带来的酸甜苦辣，从而让我们的学生体会到有些事情并不如我们所想象的那么简单，这时，教师应交给他们应对的方法；而有些事情，没有坚定的信念、持之以恒的精神，是无法体会到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的奇妙感觉的。（五）圆锥曲线专题复习的习题设置专题的练习主要分为两块：一是课堂练习，二是课后练习：不论是哪一种，由于圆锥曲线的题普遍阅读量较大，所以都必须少而精。对于课堂练习，作为此时的高三学生，最好每节课安排15－20分钟的限时练习，当然内容以复习部分为主，适当参插其它内容。但必须确保题量不能多，可以是一选一填加一大题的模式。这样做有利于训练学生在紧张的状态下保持对知识的延续性和思维的稳定性。对于课后练习，则要充分留给学生对题目仔细推敲、认真思考的时间，包括解完题后对题的回味（这一点非常重要但往往被学生所忽略）。（六）圆锥曲线在生活中的应用复习学习数学的最终目的就是运用于实践，为生产生活服务。至于圆锥曲线，由于它是代数与几何的交融，与生活的联系比较密切。回归教材我们发现，其中也注意贯彻理论联系实际的教学原则，培养学生应用数学的意识，加强在实际中应用，提高他们分析问题、解决问题的能力。在教材中，介绍了天体运行的轨道有椭圆、双曲线、抛物线等，又将圆锥曲线与我们的日常生活中常见的曲线联系起来，例：倾斜的圆柱形水面的边界，汽车油罐截面的轮廓线，发电厂通风塔的外形线、拦洪坝的曲线，探照灯的轴截面的曲线等等.在习题中又配备了应用性问题，还以阅读材料的形式介绍了《圆锥曲线的光学性质及其应用》。所以这一点在准备高考复习的过程中，必须加以重视。解决这类问题的步骤是:阅读题意、抽取有用信息、建立数学模型、解决数学问题。例如：【母题】如图A村在B地正北3km处,C村与B地相距4km,且在B地的正东方向.已知公路PQ上任一点到,BC的距离之和都为8km.现在要在公路旁建造一个变电房M,分别向A村,C村送电,但C村有一村办工厂,用电须用专用线路,因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电.要使得所用电线最短,变电房M应建在A村的什么方位?并求出M到A村的距离.分析：实际应用问题要将问题转化为数学模型来解决。由题意知,||||84||MAMBBC,故点M在以,BC为焦点的椭圆上。如图,建立平面直角坐标系0xy,则(2,0),(2,0),(2,3)BCA。所以点M的轨迹方程为2211612xy。过M作MNl于N,则由椭圆的第二定义可知||2||MNMC。依题意知求||2||MAMC的最小值,即求||||MAMN的最小值,由平面几何知识可知,当,,MAN共线时,||||MAMN最小。所以(23,3),(8,3)MN,即变电房应建在A村的正东方向且距A村232km处。【导数及其结合圆锥曲线的专题复习】有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。虽然近几年浙江省高考直接考导数的分值不多，但导数的作用却非同小可。本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性或者圆锥曲线的切线斜率等有机地结合在一起。对此，关于导数专题的复习，就导数的概念以及在函数单调性、极值、最值等方面的运用在这里就不作专门的探讨了。单就导数与圆锥曲线交汇处命题的范围和趋势作一定的探讨。涉及圆锥曲线与导数的结合，当然重点是利用导数的几何意义来解决曲线某点处的切线斜率问题。例如：【母题】已知双曲线:(0)mCymx与点M（1，1），如图所示。（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。分析：（1）设(,)mQtCt，要证命题成立只需要证明关于t的方程|xtMQyk有两个符号相反的实根即可。|xtMQyk221201mmttmtmtt，且t≠0，t≠1。设方程220tmtm的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。（2）略。【母题】直线AB过抛物线22(0)xpyp的焦点F，并与其相交于A,B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与轴的交点，0是坐标原点。（1）求MA·MB的取值范围；（2）过A,B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：MN·OF＝0，NQ∥OF。本文所写纯属个人观点，愿与广大同行交流。如有不当之处，敬请指正。