第七章-玻耳兹曼统计-热力学统计物理

1热统1、粒子经典运动状态a.代数描述),,,(11rrppqqb.几何描述粒子相空间（空间）“代表点”在量子力学中，微观粒子的运动状态为量子态。2、粒子量子运动状态量子态由一组量子数表征。3、简并度ω一个能级对应的不同的量子态的数目。一、粒子微观运动的描述第六章回顾2热统4、与经典描述之间的关系对于宏观大小的容积，是很小的量，量子描述趋近于经典描述。由于不确定关系，。即在体积元h内的各运动状态，它们的差别都在测量误差之内，即被认为是相同的！以一维自由粒子为例，其相空间的体积元为。pxhpxpxoLpxppxx一个量子态对应粒子相空间的一个h大小的体积元（相格）。3热统二、系统微观运动的描述1、全同和近独立粒子的宏观系统全同粒子具有相同物理性质（质量、电荷，自旋等）的微观粒子近独立粒子粒子之间的相互作用可以忽略不计。iNiE1系统粒子数N能量2、经典微观系统的运动状态粒子可分辨。系统的微观状态确定，每个粒子的微观状态确定。Nr个广义坐标和Nr个广义动量都确定。4热统几何表示：μ–空间N个代表点。玻耳兹曼分布、玻耳兹曼粒子。3、量子系统的微观状态粒子不可区分，只知道几个粒子在哪个量子态，不知道哪几个粒子在这个量子态。泡利不相容原理：自旋半整数的粒子，在一个量子态不可能有一个以上的粒子。自旋整数的粒子，不受泡利原理限制－玻色分布、玻色粒子。自旋整半数粒子－费米分布、费米粒子。光子(自旋1)、声子(自旋1)、等电子、质子、夸克等（自旋1/2）5热统4、分布的定义VNE,,12l12lla2a1a能级简并度粒子数确定的宏观态la表示一个分布，满足;,EaNalllll分布对应的微观态数A.玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）lallllBMlaNa!!}{.B.玻色分布lllllEBaa)!1(!)!1(.C.费米分布lllllDFaa)!(!!.leall1leall6热统1leall1eleall玻色分布和费米分布趋向于玻耳兹曼分布。满足经典极限条件时，玻色（费米）系统中的近独立粒子在平衡态遵从玻尔兹曼分布。7热统定域粒子组成的系统，如晶体中的原子或离子定域在其平衡位置附近作微振动。从其量子本性来说不可分辨，但可以根据其平衡位置而加以区分。在这意义下可以将定域粒子看做可以分辨的粒子，因此由定域粒子组成的系统（定域系统）遵从玻尔兹曼分布。玻耳兹曼系统（玻耳兹曼分布）lallllBMlaNa!!}{.leall;,EaNalllll8热统一、玻耳兹曼分布leallleaNllll00leaUllllll00令leZll01eZN1则叫配分函数，partitionfunction1ZNe§7.1热力学量的统计表达式9热统二、热力学量1.内能0llllUe0()lllee)(11ZZN1lnZN2.功dQdWdU01l'la'0'1'lla能级不变分布变能级变分布不变01lla0lllaU内能的统计表达式1NeZ10lllZe10热统00lllllldadadU能级不变分布变能级变分布不变能级的值，是力学方程在指定的边界条件下的解。l力学系统不变，方程不变，能级变，只有边界条件变。改变边界，即做功。外界对系统的力lllayYleylll)1(leyell111ZyZNyZN1ln1VZNp1lnlllaydyYdylllad每个粒子受力：yfll功广义力统计表达式11热统12热统00lllllldadadU能级不变分布变能级变分布不变能级的值，是力学方程在指定的边界条件下的解。l力学系统不变，方程不变，能级变，只有边界条件变。改变边界，即做功。dQdWdU第一项是粒子分布不变时由于外参量改变导致的能级改变而引起的内能变化，代表过程中外界对系统所作的功；第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化，代表过程中系统从外界吸收的热量，粒子激发。也就是说在无穷小过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。热量是热现象中特有的宏观量，没有与热量相对应的微观量。lllYdyad13热统3.熵dSTYdydUTdQYdydUdQdyyZNZNd11ln1)ln(dyyZNZdNYdydU11ln)ln()(由得等式两边同乘β：),(11yZZ而leZll01yfll且所以积分因子1/T应用7.1.4和7.1.6式每个粒子受力：14热统dyyZdZZd111lnlnln11ln(ln)ZdNZNdSTYdydUTdQkT111ln(ln)ZNdSdZT熵11ln(ln)ZSNkZdyyZNZdNYdydU11ln)ln()(11ln(ln)ZNkdZ其中令求全微分之前求得由得到111lnlnln()()ZZZdddβ与1/T都是积分因子k是玻耳兹曼常量15热统三、熵的统计意义)ln(ln11ZZNkSUkZNk1lnUkNkNNkln]ln[UNNNk[ln()]lllkNNaleall]lnlnln[llllllaaaNNklnkS玻尔兹曼关系1lnZUN0llNa0lllUa1ZNeNZlnln1lnllla应用6.6.4式16热统1lnZNU说明：1、统计意义，熵——混乱度——微观状态数2、满足经典极限条件的不可分辨（玻色，费米）系统yZNY1ln1VZNp1ln!ln)ln(ln11NkZZNkS!ln.NkSBM......!DFBMEBNlnkS对于玻色、费米分布某个宏观态对应的微观状态数越多，它的混乱度越大，熵也越大。17热统自由能TSUF)ln(lnln111ZZTNkZN1lnZNkT1lnln!NkTZkTN对于定域系统满足经典极限条件的玻色、费米系统TSUF111lnln(ln)ln!ZZNTNkZkTNlnZ1是以β,y为变量的特性函数，对应简单系统的F(T,V)。18热统四、经典统计表达式所有热力学量都可以通过配分函数表示。经典表达式0llrhleZll01lehlrl00rhdeZ01rrrpqhdpdpdqdqe011],[19热统h0对经典统计结果的影响1lnlllZUaN1ln1lllZYaNyy!ln)ln(ln11NkZZNkS与h0无关与h0有关0lllraeh1ZNe对经典分布10lllrNaeZh不含有0rh绝对熵的概念是量子理论的结果。rhdeZ0120热统一、理想气体：单原子气体分子之间的相互作用势能被忽略。)(21222zyxpppm3r222()213xyzpppxyzmdxdydzdpdpdpZeh二、配分函数zmpympxmpdpedpedpedxdydzhzyx222322212/321)2(hmVZ§7.2理想气体的物态方程leZll01P366附录C7.1.18式21热统VZNp1ln三、物态方程)]2ln(23[ln2hmVVNVNkTp四、内能1lnZNU)]2ln(23[ln2hmVNNkTU23经典极限条件1e1ZNe32221VmkTeNh经典条件下：1、N/V愈小，即气体愈稀薄2、温度愈高3、分子的质量愈大2/321)2(hmVZ22热统德布罗意波长2hhpm32221aVmkTeNh1212hmkT31/31,ndnd经典理论的适用范围：分子德布罗意波的平均热波长远小于分子间的平均间距。或者说在体积V内平均粒子数远小于1。量子效应不明显23热统01lla能量分布0v1vlv?lb速度分布lehall3出发点：)(21222zyxpppm§7.3麦克斯韦速度分布率一、思路气体分子质心的平移运动24热统二、速度分布率)(21222zyxpppm25热统，求动量在zzzyyyxxxdpppdpppdppp,,中粒子数目，对空间积分lehall32/321)2(hmVZ1ZNe2/323)2(hmVNehdpdpdxdydzdpalzyxVlzyxpppmkTdpdpdpemkTNzyx)(212/3222)21(利用7.1.19式是能量在体积元粒子数目lla26热统zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv,,在速度区间的粒子数222()3/22(,,)()2xyzmvvvkTxyzxyzxyzmfvvvdvdvdvNedvdvdvkTzzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv,,单位体积内在速度区间的粒子数222()3/22(,,)()2xyzmvvvkTxyzxyzxyzmfvvvdvdvdvnedvdvdvkT即麦克斯韦速度分布率(,,)xyzxyzfvvvdvdvdvnNnV为单位体积内粒子数27热统三、速率分布速率与方向无关，故需对上式进行角度积分。223/222(,,)sin4()()2mvkTfvvdvddmNevdvfvdvkT23/22200()4()2mvkTmfvdvNevdvNkT物理含义：粒子速率在v-v+dv之间的粒子数目28热统四、特征速率最概然速率：使速率分布函数取极大值的速率；把速率分为相等的间隔，vm所在间隔分子数最多。23/222()[4()]02mvkTfvmNevvvkT0][222vevkTmvmkTvm20]2)[(222mmmkTmvvvkTmvem2RTM29热统用分布函数计算与速率有关的物理量在速率0~区间内的平均值vvvvvdd00)()()(ffWWdxxenInx20210202dxeIx21120xdxeIx2320422dxxeIx2302132dxxeIx30热统平均速率0()vfvdvvNdvvekTmkTmv322/32)2(4mkT8方均根速率2vvsdvvekTmvvkTmv222/3222)2(4mkT3mkTvs323/22204()2mvkTmvevdvkT8RTM3RTM31热统zzzyyyxxxdvvvdvvvdvv