压缩感知与滤波器组基础知识理解

课堂整理笔记（1）滤波器组的概念以前我们没有接触到，但是实际信号与系统，数字信号处理中许多地方已经涉及到滤波器组的概念，比如傅里叶变换公式中包含了滤波器组的概念e-jwt可以看成不同频率的滤波器组成的集合，通过变换将f(t)投影到这些滤波器集合中，还有很多变换如小波变换、DCT变换、空间域的变换等，都可以从滤波器组的概念出发，从不同角度去理解这些变换的实质。滤波器组分为分析滤波器组和综合滤波器组。分析滤波器组将信号分成M个子带信号，若M＝2，则分析滤波器组由一个低通滤波器和一个高通滤波器所组成，它们把信号分成了一个低通信号和一个高通信号。我们可依据这两个子带信号所具有的能量的不同，也即“重要性”的不同而分别给以不同的对待及处理。由于分析滤波器组将原信号的带宽压缩为1/M，因此，对每一个子带信号均可作M倍的抽取，从而将抽样率减低M倍。这样可减小编码和处理的计算量，同时，在硬件实现时也可以降低对系统性能的要求，从而降低成本。在综合滤波器组前面，再作M倍的插值，以得到和原信号相同的抽样率。两通道滤波器组的框图如图1所示：figure1figure2针对图2老师提出了低通滤波器的最高频率为2*pi(归一化之前)的原因，以低通滤波器为例，怎麽样由信号的模拟频率对应到低通滤波器横坐标上每一个频率点，fs是信号的采样频率，由式子2*pi*f/fs可以得到滤波器的频率，由奈奎施特采样定理：fs=2*fc采样后信号为周期信号，以fs为周期，在fs内包含了信号的所有信息。课堂笔记（2）压缩感知理论基础，信号采样是模拟的物理世界通向数字的信息世界之必备手段。多年来，指导信号采样的理论基础一直是著名的奈奎斯特采样定里，然而这一传统理论存在以下不足：1.采样速率受信号带宽限制；2.传统速度要求太高；2.信号压缩严重浪费存储资源;考虑到这些缺点，能否利用其变换空间来描述信号，用远低于传统采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号？信号的稀疏性能够直观地而且相对本质地表达信号的信息，因此我们可以利用信号的这一特性来重构信号，于是基于信号稀疏特性，提出了压缩感知。压缩感知理论流程图：最初的方程：y=Ax，A为m*n的矩阵，x为n*1的列向量，y为m*1的列向量，压缩后的y中元素个数是小于x的，我们期待用这个方程解出x是不现实的，因为m远小于n,是欠定性问题，长度为N的信号x在正交基φ上的投影系数是K-稀疏的，利用与正交基φ不相关的观测矩阵Am*n，（注意：这里必须要保证矩阵A与正交基的不相关性，不然会改变Aφ的秩），得到信号x在φ上的线性映射：y=Ax=Aφs=∅s重构信号的过程就是求解方程y=∅s，最初是利用0-范数最优化来求解：min||s||L0但是利用0-范数来求解是一个NP难题，后来的研究者用p-范数（p大于等于1）最优化求解，将非凸问题转化为凸化问题，然后用已经成熟的搜索算法来求解（牛顿法，共轭梯度法）等。