压缩采样和应用1025.

压缩采样与应用预期•了解压缩采样的原理，优势•了解压缩采样的前提条件•了解压缩采样实现过程•了解压缩采样的一些应用领域内容Nyquist信号采样1压缩采样2应用3内容Nyquist信号采样1压缩采样2应用31.1信号采样1.1信号采样•Nyquist采样定理：–采样速率需达到信号带宽的三倍以上才能精确重构号。何为带宽？1.1信号采样•Nyquist采样定理弊端–获取效率低下（保守）–采样硬件成本昂贵–对宽带信号处理的困难日益加剧–传输与存储困难–未考虑信号特性（稀疏性）例如：若信号带宽为1G，则采用速率为2G=2*1024*1024*1024个/s1.2信号的压缩和传输•传统压缩方法•为了降低成本–将采样的数经压缩后以较少的比特数表示信号–很多非重要的数据被抛弃•缺点–这种高速采样再压缩的方式浪费了大量的采样资源–一旦压缩数据中的某个或某几个丢失，可能将造成信号恢复的错误1.3问题能否以远低于Nyquist采样定理要求的采样速率获取信号，而保证信息不损失，并且可以完全恢复信号？在什么条件下可以？答案：可以，信号稀疏2006《RobustUncertaintyPrinciples：ExactSignalReconstructionfromHighlyIncompleteFrequencyInformation》TerenceTao、EmmanuelCandès2006《CompressedSensing》DavidDonoho2007《CompressiveSensing》RichardBaraniuk1.4稀疏•稀疏是什么？何为稀疏度？非零元素的个数1.4稀疏•观测本身就是稀疏的–座位问题•观测变换后是稀疏的–空中管制–室内定位–图像处理–频谱感知–故障诊断=•为什么稀疏就可以远低于Nyquist采样速率进行采样也可重构信号？?如何选择：选择几个元素合适？选择哪些元素合适？内容Nyquist信号采样1压缩采样2应用3•压缩采样的核心思想–压缩和采样合并进行，远小于传统采样方法的数据量–突破了Nyquist采样定理的瓶颈–使高分辨率的信号采集成为可能基本方法：信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压缩性），就能以较低的频率（远低于奈奎斯特采样频率）采样该信号，并可能以高概率重建该信号。压缩采样流程介绍1，稀疏表示•信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的;2，随机测量•就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上;3，重构算法•然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。压缩采样流程介绍1，稀疏表示•信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的;2，随机测量•就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上;3，重构算法•然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。压缩采样流程介绍1，稀疏表示•信号是可压缩的或在某个变换域是稀疏的;2，随机测量•就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上;3，重构算法•然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。第一步：信号的稀疏表示如图是一个稀疏度为3的稀疏变换，,在时域基本都是非零值，但将其变换到域时，非零值就只有3个了，数目远小于原来的非零数目，实现了信号的稀疏表示。xx压缩采样流程介绍第二步：观测矩阵的设计观测器的目的是采样得到个观测值，并保证从中能够重构出原来长度为的信号或者稀疏基下的系数向量。观测过程就是利用观测矩阵的个行向量对稀疏系数向量进行投影，得到个观测值，即MNxMNMMTYxx观测矩阵需要满足的条件压缩采样流程介绍第三步：信号重构首先介绍下范数的概念。向量的p-范数为：当p=0时得到0-范数，它表示上式中非零项的个数。由于观测数量，不能直接求解，在信号可压缩的前提下，求解病态方程组的问题转化为最小0-范数问题：11Nppipiss0mins.t.TTxYxMNx压缩采样流程介绍对于0-范数问题的求解是个NP问题，需要列出所有非零项位置的种组合的线性组合才能得到最优解，在多项式时间内难以求解，而且也无法验证其可靠性。Chen，Donoho和Saunders指出求解一个优化问题会产生同等的解。于是问题转化为：Candes等指出，要精确重构k稀疏信号x，测量次数M（必须满足M=O(k·logN)，并且矩阵Φ必须满足约束等距性条件(RestrictedIsometryPrinciple)。求解该最优化问题，得到稀疏域的系数，然后反变换即可以得到时域信号。1min..TTxstYx压缩采样流程介绍重构算法（1）匹配追踪系列：匹配追踪（MatchingPursuit,MP）正交匹配追踪(OrthogonalMatchingPursuit,OMP)稀疏自适应匹配追踪(SparseAdaptiveMP,SAMP)正则化正交匹配追踪(RegularizedOMP,ROMP)等（2）方向追踪系列：梯度追踪(GradientPursuit,GP)共轭梯度追踪(ConjugateGP,CGP)近似的共轭梯度追踪(ApproximationCGP,ACGP)贪婪算法凸优化算法（1）基追踪法(BasisPursuit,BP)（2）最小角度回归法(LeastAngleRegression,LARS)（3）梯度投影法(GradientProjectionforSparseReconstruction,GPSR)另类算法（1）Bayesian类的统计优化算法压缩采样流程介绍内容Nyquist信号采样1压缩采样2应用33.1单像素相机压缩采样理论带来了信号采样理论的变革，具有广阔的应用前景，包括压缩成像、模拟信息转换、生物传感等。压缩采样应用于光学成像的首个实际系统是Rice大学的“单像素相机”入射光线经过第一个透镜之后进入成像系统，照射在放置于像平面的数字微镜设备(DMD)阵列上。DMD阵列由数百万个尺寸为μm量级的微小反射镜组成，每个反射镜的角度可独立控制。DMD阵列的反射光线经过第二个透镜，其中仅一个方向的光线进入单像素光子探测器。3.1单像素相机•传统百万像素的相机需要百万个探测传感器。•而压缩传感数码相机只使用一个探测器来采光，然后跟捕获后的计算相结合来重构图像。•该相机直接获取的是M次随机线性测量值而不是获取原始信号的N个像素值，为低像素相机拍摄高质量图像提供了可能。3.2图像融合•将待融合图像进行稀疏表示•用远小于原图像的数据量进行融合•用重构算法将融合结果还原为原图像•可节省中间融合所需的计算量•更好地利用原图像中的内在联系3.3模拟信息转换•频谱感知（认知无线电）•目标跟踪与定位•故障诊断•生物传感•其他总结压缩采样的理论依据：设长度为N的信号X在某个正交基Ψ上是K-稀疏的，如果能找到一个与Ψ不相关的观测基Φ，用观测基Φ观测原信号得到M个观测值，KMN，得到观测值Y，那么可以利用最优化方法从观测值中高概率重构X。找到某个正交基Ψ，信号在该基上稀疏找到一个与Ψ不相关，且满足一定条件的观测基Φ对Y采用最优化重建，ΨΦ均是其约束。以Φ观测真实信号，得到观测值Y主要的问题：1.信号的稀疏表示2.观测基的选取3.重构算法的设计