华南理工大学高等数学统考试卷下期中卷答案

1高等数学2004~2005学年第二学期期中考试试卷专业班级姓名学号一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知向量a与b垂直，4||3||ba，，则|baba|）（）（23解答：605623baabbababa2．与直线112211zyx及tztyx211都平行，且过原点的平面方程为：。解答：设平面方程为0CzByAx，则002CBCBACBCA，所求平面方程为0zyx。3．设S是由曲线0122322zyx绕y轴旋转一周得到的旋转曲面，该曲面在点），，（230处指向外侧的单位法向量为解答：此旋转曲面方程为12233223yzx。在曲面上一点z,y,x的法向量为z,y,xn646，在），，（230法向量为26340,,，其对应单位向量为5155100,,且其指向外侧。（在第一象限指向上侧就是指向外侧，只需看书坐标的符号）答案为5155100,,。4．由方程2222zyxxyz所确定的函数），（yxzz在点），，（101处的全微分dz解答：方程两边微分得01222zdzydyxdxzyxxydzxzdyyzdx2当101z,y,x时，我们有021dzdxdydydxdz25．积分dxxxdyy606cos的值等于解答：改变积分顺序，2160600606dxxcosdyxxcosdxdxxxcosdyππxππy二．选择题（每小题3分，共15分）1．函数32),(yxyxf在点），（00处（B）（A）不连续；（B）连续，但偏导数），（00xf和），（00yf不存在；（C）连续且偏导数），（00xf和），（00yf都存在，但不可微；（D）可微。2．设），（00xf=1，），（00yf=2，则（D）（A）），（yxf在点），（00处连续；（B）dydxyxdf2|00），（），（；（C）cos2cos|00），（lf，其中coscos，为l的方向余弦；（D）），（yxf在点），（00处沿x轴负方向的方向导数为1。3．设),(yxf连续，且),(yxf=Ddxdyyxfxy),(，其中D是由1,,02xxyy所围成的区域，则),(yxf=（C）（A）xy；（B）xy2；（C）81xy；（D）1xy4．若函数),(yxf在点（),00yx的某邻域内有连续二阶偏导数，且满足xy6630)],([),(),(2000000yxfyxfyxfxyyyxx则点（),00yx是（D）（A）必不是),(yxf的极值点；（B）必是),(yxf的极值点；（C）必是),(yxf的极小值点；（D）可能不是),(yxf的极值点。5．设空间区域：1322222zyxyxz，）（，则dVz2（B）（A）；drrdd30104220cossin；（B）；drrdd60104220cossin；（C）；drrdd3010320cossin；（D）；drrdd6010220cossin。三．（10分）求通过直线02,0:zyxyxl的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线zyx。（利用平面束）解答：设所求平面方程02yxλzyx，即0211zyλxλ1）若与直线zyx平行，则21,0111此平面方程为：022321zyx2）因为另一平面与已求出平面垂直，所以3,01123121另一平面方程为：0224zyx四。（10分）设)3,(22yyxfyz，又f有连续的二阶偏导数，求22yz。4解答：3332322222212y,yxfyxy,yxfyy,yxfyz9333233322323334222222212221244211322122222122y,yxfyxy,yxfyyxy,yxfyxy,yxfyyxy,yxfyy,yxfyxy,yxfyz五．（10分）设），（zxfu，而），（yxzz是由方程）（zyxz所确定的隐函数，其中f有连续偏导数，而有连续导数，求du。解答：利用全微分的不变性dzzydyzdxdz,dzfdxfdu21dyzyzdxzydz111dyzyzfdxzyffdu11221六．（10分）计算dxdyyeDxy，其中D是由直线2,2,1yxx和双曲线xy1所围成。解答：方法一：dxexexydyyedxdxdyyexxyxyxxyDxy212122121124212212222112eexedxexexxxx方法二：212112121yxyxyDxydxyedydxyedydxdyye2112122dyeedyeeyyy5241212212222eeeyeeeyyy七．（10分）利用三重积分计算立体}0,0,1|),,{222aaxyzyxzyx（的体积。解答：方法一：投影法DyxyxDΩdxdyyxdzdxdydv2211122222aarctanraarctandrrrdθaarctan3213212102321020方法二：利用球面坐标aarctanrθcosaarctandrsinrddθdvππaarctanΩ323103010200说明：用华工版教材的同学做八题，不做九题，用同济五版教材的同学做九题，不做八题。八。（10分）设函数xf是可导函数，且满足等式1Ddudvvufxf，其中区域D为：vuxv0,0，试求xfy。解答：100vxduvufdvxf1202xdvvfvxf两边关于x求导得xfxxf22解此微分方程得63xCexf因为0x时，10f，所以1C因此63xexf九．（10分）计算曲线积分Lydyxxlnxyydxyx2222，其中L是园xyD641122yx并取逆时针方向。解答：设2222ln,,,yxxxyyyxQyxyxP,22yxyyP222222211yxyyyxxyxxyyxQDLdxdyyPxQdyyxxxyydxyx2222ln23212321410223214112141322222dxxdyydxdxdyyxyx6416132224πθdθcos（这里令θsinx211）十。（10分）在过点)31,1,2(P的所有平面中，求与三个坐标面在第一卦限内围成的四面体体积最小之平面。解答：1）设平面的截距分别为：c,b,a，则平面方程为1czbyax根据已知不难得到：000c,b,a此平面与坐标面围成四面体的体积为：abc612）我们仅需计算abc61满足条件13112cba的最小值，可用拉格朗日乘数法，考虑函数1311261cbaλabcλ,c,b,aF701311203606026222cbaFcλabFbλacFaλbcFλabacbacba3112013112136cba过点)31,1,2(P的所有平面中，求与三个坐标面在第一卦限内围成的四面体体积最小之平面为1136zyx