初中数学等腰三角形的分类讨论与存在性问题

1初中数学等腰三角形的分类讨论等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本课分以下几种情形讲述。一.遇角需讨论例1.已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（）A.30°B.75°C.105°D.30°或75°说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。二.遇边需讨论例2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。三.遇中线需讨论例3.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。四.遇高需讨论例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。简析：例5.为美化环境，计划在某小区内用230m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。2五.遇中垂线需讨论例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。说明：这里的---最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。等腰三角形的存在性问题专题攻略如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．针对训练1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．32．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．3．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标．44.如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．5参考答案:1．因为D（3，4），所以OD＝5，3cos5DOP．①如图1，当PD＝PO时，作PE⊥OD于E．在Rt△OPE中，3cos5OEDOPOP，52OE，所以256OO．此时点P的坐标为25(,0)6．②如图2，当OP＝OD＝5时，点P的坐标为(5，0)．③如图3，当DO＝DP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0)．第1题图1第1题图2第1题图32．在Rt△ABC中，10862222BCABAC.因此4cos5ACB.在△PQC中，CQ＝t，CP＝10－2t.第2题图1第2题图2第2题图3①如图1，当CPCQ时，102tt，解得103t(秒).②如图2，当QPQC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM＝152PCt.在Rt△QMC中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t(秒).③如图3，当PCPQ时，过点P作PN⊥BC于N，则CN＝1122QCt.在Rt△PNC中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t(秒).综上所述，当t为秒秒、秒、2180925310时，△PQC为等腰三角形.3．由y＝2x＋2得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2．如图，由△AOB∽△QOP得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1．设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)．因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2．6①当AP＝AQ时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2＝m2＋1，得0m或43m．所以符合条件的点P不存在．②当PA＝PQ时，PA2＝PQ2，解方程(2m＋1)2＝5m2，得25m．所以(425,0)P．③当QA＝QP时，QA2＝QP2，解方程m2＋1＝5m2，得12m．所以(1,0)P．第3题图4．（12临沂26）（1）如图，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，23OC．所以点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232(6)a．解得36a．所以抛物线的解析式为23323(4)663yxxxx．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得23y．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以224(23)16y．解得1223yy．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以22224(23)2yy．解得23y．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)．第4题图