南京大学地学院2012数学物理方法期终试卷标准答案

南京大学2012—2013学年第一学期《数学物理方法》期终考试标准答案院系地学院等年级三学号姓名题号一二三四五总分得分一.（20分）计算dxxxx3sin。解：dxxxxidxxxxidxxxxdxxxeix3333sinsincos因为xx31在上半大圆一致收敛，根据约当引理，xxeix3在上半大圆的积分为０，可将广义积分化为围绕上半复平面的回路积分。xxeix3有三个单奇点，其中原点在实轴上，i在上半平面。1|13)0(Re02xixxexsexeixsixix21|13)(Re2)11())0(Re21)((Re23eixsixsidxxxeix因此)11(sin3edxxxx二.（20分）已知函数)(tf的傅立叶变换为11)(4F,计算)2('tf的傅立叶变换。解：dedeFtftiti11)()(4deidedtdtftiti1111)('44deideideitftititi164221)2(111)2('4424因此)2('tf的傅立叶变换为1644i。三.（20分）相同高度相距L的两点之间绷紧一根均质弦。由于弦自身重力原因，平衡时弦的中点高度比端点矮d。1、求弦上横波的传播速度。2、将弦恢复到水平位置保持静止然后松开，求弦的振动情况。解：根据题意，本题为波动问题，两端满足刚性边界条件，弦的横振动方程为0|,0|0|,0|0002tttLxxxxttuuuuguvu1、在平衡状态下，弦的位置不随时间变化，0|,0|,02Lxxxxuuguv，可以解出)(22xLxvgu。在弦中点处，dvgLLLLvgu2228)2(22,因此Ldgv8。２、令wxLxvgu)(22，则ｗ满足)(2|,0|0|,0|020002xLxvg根据齐次边界条件可以得出本征值和本征基函数,一般解为：1)cossin(sinnnnLvtnBLvtnALxnw代入初始条件：12sin)(2nnBLxnxLxvg1sin0nnLvnALxn因此，0nA,))1(1(2sin)(22233202nLnvngLdxLxnxLxvgLB最终得到：0332)12(cos)12(sin)12(132)(4nLvtnLxnndxLxLdu四.（20分）将22sinsin),(f按照球谐函数进行展开。解：)2cos1(21sin22cos)1(21)1(212cossin21sin21),(2222xxf))()((31)1(21202xPxPx)(61)1(21222xPx因此，2cos)(61))()((31),(2220xPxPxPf五.（20分）一个长度为L，半径为R的半圆柱型工件，初始温度为T。将其投入零度的水中进行淬火，求解工件内各点温度随时间变化的函数。解：根据题意，本题为输运问题，工件初始温度为Ｔ，表面温度为０：Tuuuautxxt02|0|0因为工件为半圆柱，且在半圆柱的侧面温度为０，我们可以对其进行奇函数延拓)()(uu，延拓后的工件为圆柱形，数学物理方程可以表示为：)(|0|||0002fuuuuuautLzzRxxt其中0,0,)(TTf。圆柱体输运方程的通解可以表示为：taskmmeszszmmkNkJu222)(sincossincos)()(根据圆柱体的齐次边界条件求解本征方程，可得：taskjimijmjiemmzskJu222)(sincos)sin()(，其中Ljsj，Rxkmii)(,)(mix是ｍ阶贝塞尔函数的第ｉ个零点。111)(222)sin()()sincos(ijmtaskjimijmijmjiezskJmBmAu代入初始条件：111)sin()()sincos()(ijmjimijmijmzskJmBmAf根据贝塞尔函数和三角函数的正交性：0ijmAmTjLLdkJdkJBmjRimRimijm))1(1(21))1(1(2)()(020最终得100)(12120202)12)(12()sin()())12sin(()()(1622122ijmtaskjimRimRimjmezskJmdkJdkJTuji附必要公式：1)(0xPcos)(1xxP)12cos3(25.0)13(5.0)(22xxPsin)1()(2/1211xxP2sin5.1)3()1()(2/1212xxxP2222sin3)1(3)(xxP