初等几何研究

1.（证明线段相等）例1：在ABC的两边AB、AC上向外做正方形ABEF和ACGH，则BC边上的高线AD平分FH。证明：过点F作PQFQ,过点H作DPHP在ΔADB和ΔFQA中ABAFDBAQAFADBFQA90ADFQΔADBΔFQA在中ΔCAD和ΔAFPACAHDACPHA90CDAAPHADPHΔCADΔAHPHPFQ在中和HPMFQMHPFQHMPFMQPHMQFMΔHPMΔFQMHMFM即M为FH的中点。2：C是弦AB的中点，通过C引弦PQ，并在此弦两端作圆的切线PX和QY。它们交直线AB于X、Y。证PX=QY、AX=BY。3：AB是圆的直径，从圆上一点C作ABCD于D。且在A、C两点的切线相交于E，证明：BE平分CD。证明:过点B作ABBF交EC于FEA//CD//BFECDMAEDMABBDEFCFEFBFECCMDMCM即BE平分CD。4：设AD、BE、CF是ABC的高线，则DEF称为ABC垂足三角形。证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角。证明：FCDM共圆FDMFCMDBEM共圆EDMEBM90BACEBMBACFCMEBMFCMEDMFDM即AD平分FDE同理可得BF平分DFE,CE平分FED即这三条高线平分DEF的内角或外角。5：二圆外切于P，一圆在其上一点C的切线交另一圆于A、B。求证：PC是APB的外角平分线。6：等边三角形外接圆周上任意一点到顶点连线中最长的等于其余两线之和。证明：延长BP至C.使PCCP,60BACCCP则CPC为等边三角形CCPCPCBCPCPCBACBCBCACP在ACPCBC和中PCCCACPCBCACBCACPCBCPCPBCPPBAPCB7：三角形在一顶点到垂心距离二倍于外心到对边的距离。H是ABC的垂心，O是外心。BLOL于L，求证：OLAH2。证明，设M,K各为CA，CH的中点，OM//BH,BH//LKOM//LKOL//AH//MK四边形OLKM为平行四边形2OL2MKAH8：三角形中大边上的中线较小。已知ABC，M,N,L为三边中点，ACAB.求证：CNBM.证明：ACABABCACB在ACLABL和中BLBLALAL,ALCALB中和在CLGBLGBLBLGLGL,CGBG即CNBM3232所以CNBM.9：从三角形顶点A向另两角的平分线作垂线AE、AF,E、F为垂足。求证BCEF//.证明：HEAEFHAF,AFHE四点共圆，EBCABCCABACBBACCAFFAHFEH2121219021BCEF//10：三角形中大边的高较小。已知ACAB,BE,CF为高。求证CFBE。证明：BEACFCAB2121ACABCFBE11：过圆外一点P做切线PA,由PA的中点B作割线BCD,连PC，PD交圆于E,F.求证：PAEF//.证明：PA为切线，B为PA中点BDBCBA2BDBCBAPB22PBBDBCPBPBC相似与DBPBDPAPEBDPPEFPEFAPEPAFE//12：三角形外接圆周上的任意一点到三边(所在直线上)的射影共线。已知：ABC内接于圆O,P为弧上任意一点，过P作BCPX,ACPY,ABPZ,X,Y,Z为垂足。求证：X，Y，Z共线。证明：PXBZ四点共圆，PBZPXZPXYC四点共圆，PCYPXY180PCYPBZ180PXZPXYPBZPXYPCYPXYX,Y,Z三点共线。13定理：设ABC的三边（所在直线）BC,CA,AB分别被一直线所截，交点为X，Y，Z。则有1ZBAZYACYXCBX.证明：过点C作CD//XZZBAZZBAZZADZYACYZDBZXCBX,,1ZBAZZADZZDBZZBAZYACYXCBX14逆定理（梅氏定理）：设定ABC三边（所在直线）BC,CA,AB上各取一点X，Y，Z，满足1ZBAZYACYXCBX，则X，Y，Z共线。证明：设XY交AB与Z则有1BZZAYACYXCBX并且1ZBAZYACYXCBXZBAZBZZAZZ与相同所以X,Y,Z三点共线。15、Ptolemy：圆内接四边形两对角线乘积等于两组对边乘积之和。已知ABCD内接于圆，求证CDABBCADBDAC证明：作CADBAE交BD与E又ACDABEABE相似于ACDCDBEACABBEACCDABADEACBBACDAE,AED相似于ABCBCFDACADDEACBCADBDACDEBEACBCADCDAB)(16、两个平移的乘积是一个平移。证明：设两个平移为PQ和QR，不妨设他们有公共点Q，图形上一点为M经平移PQ后，得到对应图形M，再经QR平移后得到对应图形M，显然PQRMMM,所以M可由M经过平移PR得到。17任意四边形中一组对边中点的连线不大于另一组对边和的一半。已知M,N是AB,CD中点，求证BCADMN21证明：过M作BE//AM,过M作ME//AB过C作CF//DM,过M作FM//DC。FCMEFCBE,//N为BC的中点，E,F过点N，则四边形BECF为平行四边形M,N为MEF中线BCADNFMEMN212118、在相等的图形中，与共线点对应的是共线点，从而直线的相等图形是直线。已知，A,B,C共线，F与F’相等，A’,B’,C’为A,B,C的对应点，求证A’,B’,C’共线。证明：A,B,C共线BCABACF与F’相等∴CBBCBAABCAAC,,∴CBBABCABCAAC。19、圆的外接等腰梯形中，面积最小满足什么条件。设AD=2X,BC=2Y则2422222221rXYryxrYXrS2rYX，所以当X=Y是达到最小。即等腰梯形是正方形是达到最小。20、在半径为r的园内求最大周长的内接矩形。解：周长为PYX22,YXP2224rYX2222422rXYXYYXP因为X,Y,r为正数，且2224rYX为定值，所以，当且仅当22YX时达到最大，即X=Y时最大，所以rYX时最大。21、第一类：设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆圆心个一个半径加倍的同心圆的并第二类：一点与一定圆的距离等于圆半径的轨迹是一点和一个圆的并第三类：一点与一定圆的距离等于圆半径的点的轨迹。22、设一点与一定圆的距离等于圆半径，则该点的轨迹为该圆圆心个一个半径加倍的同心圆的并。证明：1完备性：设P在圆O内部，则PO=OA-PA=0，即P与圆心O重合，设P在圆O外部，则OP=OA+AP=2r,即P在比圆O半径大一倍的圆上。2纯粹性：首先，根据定义，点O到圆O的半径是r，进点O合与条件，其次在圆O（2r）上任取一点P，因为点P在圆O（r）外部，线段OP必交于圆上一点A,且AP=OP-OA=2r-r=r,即点P合于条件。3所以合乎条件的点的轨迹是点O和圆O（2r）的并集。23探求轨迹的有效办法概述A描述B预测轨迹的性质C确定轨迹上的特殊点D研究轨迹上任意点与特殊点间的关系24到两点距离的平方和为常量的点的轨迹为圆。已知222KMBMA证明：完备性：探究由M的对称性可得圆心在AB所在直线上，猜测圆心在AB的中点，MO为MAB中线。22222MOAOMBMA即)(2222MOAOK2222AOKMO为定值∴轨迹为一圆纯粹性，设M在以O为圆心，以2222AOKMO为半径的圆上∴222KMBMA综上所述，结论的证。25列举初中几何中常见的出轨作图问题（5个）1作角平分线2线段的垂直平分线3三等份线段4过直线外一点作已知直线的平行线5过直线外一点作已知直线的垂线6作三角形的内心，外心7作一个角等于已知角26解作图题的步骤1分析：遇到比较困难不知一目了然的作图题，长假定合于已知条件的图已经做出，研究已知件和作件间的关系，从而得出作图的线索，这个过程称为分析，是解题的重要一步2作法：根据分析的线索按作图公法及已知作图题的作图，利用已知作图题时，只须说明清楚，不必将它本身的作图过程一一道来。3证明：用以表明所作图形确具所设条件4讨论：作图题解的有无多寡，定于不定，决定已知条件的大小，位置及其相互关系，这种研究称为讨论。27已知三角形底边为a，高为ha,中线ma的长，求作ABC分析：设ABC已知做成，底边BC=a,高AD=ha，中线AM=ma。在ADMRt中，有两边为已知长，故可作出定点A的位置，要决定B,C两点的位置，只要注意2aMCBM。作法：任做一直角ADM，在一边上截取AD=ha,得A点。以A做中心，ma做半径画弧交另一边与M，在这边上截取2aMCBM，则ABC即为所求。证明：由作法ABC合于所设条件。讨论：当hama时一解，当hama，无解。