力学专业英语12弹性本构关系

弹性本构关系如果观察平衡方程和相容方程，就会发现包含应力的方程只包含应力、体力和加速度，但是不包含应变和位移。另外，那些包含应变和位移的方程不包含应力。由于作用于物体上的力使物体产生应力和变形，人们可以看到单元上的应力与这些应力产生的变形有关。这样一组关系完成了对作用在物体上载荷的描述。实验表明这些关系取决于所讨论问题的材料。对于大多数工程材料，弹性应变通常是十分小的，应力和应变的关系是线性的。最普遍的一组线性关系可以表示为𝜎𝑖𝑗=∑∑𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙𝘀𝑘𝑙(1)3𝑙=13𝑘=1。其中Cijkl是比例常数，𝑖𝑗可以取从1到3的所以值。所以常数𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙有34=81个。从平衡关系可以知道𝜎𝑖𝑗=𝜎𝑗𝑖当然地𝘀𝑖𝑗=𝘀𝑗𝑖。从能量的观点看可以知道𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙=𝐶𝑘𝑙𝑖𝑗。这些条件组合意指，在最普遍的线弹性公式中，需要指定的独立常数的数量是21.由于材料通常具有大量的对称性，依据不同方向等价性的参数可以进一步的被用于减少所需常数的量。对于各向同性材料——一个在所有方向都等价的材料，可以看出材料只有两个独立的弹性常数，在上面的公式中有许多0.因此，非常方便把上面的普遍方程写为胡克定律更常见的形式:𝘀11=1𝐸[𝜎11−𝜐(𝜎22+𝜎33)](2𝑎)𝘀12=𝜎122𝐺(2𝑏)如上所述，只有由符合𝐸、𝜐、𝐺表示的两三个常数是独立的。可以看出𝐺=𝐸2(1+𝜐)(3)。当常数被指定时，方程(2𝑎,𝑏)的六个方程组成了连续力学的应力应变关系。另一个公式在弹性行为与其他材料行为类型有联系的情况下，将应变部分的体积改变从变形部分分离出来是很有用的。对于任意状态下的应变，单位体积的体积改变量(∆𝜐𝜐⁄)是三个正应变量的和。就是∆𝜐𝜐⁄=𝐼1=𝘀=𝘀11+𝘀22+𝘀33(4)。符号通常用于表示第一应变定量。因此可以得到[𝘀𝑖𝑗]=[𝘀𝑖𝑗′]+𝜀3[𝐼](5)。其中[𝐼]是3×3阶单位矩阵。在右边的第一个矩阵表示在体积改变为0情况下的应变状态，第二个矩阵表示在无变形情况下体积的纯变量。第二个矩阵表示的应变状态叫做膨胀应变。右边第一个矩阵的术语叫做偏应变，它们用符合𝘀𝑖𝑗′被定义为𝘀𝑖𝑗′=𝘀𝑖𝑗𝜀3(6)，符号𝘀𝑖𝑗叫做克罗内克符号。应力状态同样可以分解为偏应力和静水应力分量。静水应力或者平均正应力被定义为𝜎=13𝐽1=13(𝜎11+𝜎22+𝜎33)(7)，其中𝐽1是应力张量的第一不变量。然后应力状态可以分解为偏应力和静水应力。[𝜎𝑖𝑗]=[𝜎𝑖𝑗′]+𝜎[𝐼]右边的第二个矩阵叫做静水应力，在所有方向是一样的。右边的第一个矩阵是偏应力，是静水应力为0时的应力量。所有偏应力可以被定义为𝜎𝑖𝑗′=𝜎𝑖𝑗−𝛿𝑖𝑗𝜎。在一个各项同性弹性体中，静水应力为0时的应力使物体产生变形，同时物体的体积不发生改变。完全静水应力状态只产生体积改变，不产生变形。根据分解的应力和应变，胡克定律可以表示为𝘀𝑖𝑗′=𝜎𝑖𝑗′2𝐺,𝘀=𝜎𝐵(10)。其中𝐵是体积弹性模量，也就是𝐵=𝐸3(1−2𝜐)⁄。注意在方程(10)中，偏应力和偏应变的关系形式对于所有的分量都是一样的，同时膨胀应变只是静水应力的函数。弹性本构关系，平衡方程和相容条件，对在载荷作用下线弹性材料的行为做了构成了全面的描述。由于那些方程的数量等于未知量的数量，理论上有可能当面力在物体表面的分布给出后，可以得出物体应力的分布。实际上不然，三维问题中边界问题的求解近乎是一项不可完成的任务。包含许多近似数学技术的方法，在求解许多工程问题中证明是很成功的。