原子物理学第三次作业答案(10)

1第四章复杂原子的能级结构及光谱复杂原子：除碱金属原子外，核外有两个和两个以上电子的原子。以最简单的复杂原子He原子（两个核外电子）为例，受力情况：电子1：库仑力1f,1,2f；)()(1,211tftfF磁场力。。。电子2：库仑力2f,2,1f；)()(2,122tftfF磁场力。。。结论：复杂的受力使原子的相互作用能量计算非常复杂！无法精确求解,必须采用近似计算方法。§4.1复杂原子中电子的本征函数和本征能量4.1.1平均有心力场近似回顾：氢原子和类氢原子：022041rrZeFn，rZerV2041)(碱金属原子：022*041rreZFn，reZrV2*041)(共同特点：（1）电子受有心力作用（指向核，属保守力），可以引入作用势能；（2）势能和时间无关，可用定态S.eq求解；（3）磁场力远远小于库仑力，解定态S.eq时不考虑磁场力（能量）。对复杂原子计算的启示：（1）首先，忽略磁场力；（2）假定：每个电子都处于一个“平均有心力场”的作用，则可以引入作用势能，作用势能和时间无关。电子1：)()(1,211tftfF1112)(rrrF,)(11rV121fZe2f1,2f2,1f1l1s2s2l2电子2：)()(2,122tftfF2222)(rrrF,)(22rV一般地，由N个电子组成的原子，第i个电子受力及势能为：iiiiirrrFF)(,)(iirV（1）设：ui(r,,)和i为此第i个电子的本征波函数和能量本征值，其定态S.eq为：[222i+Vi(ri)]ui(ri,i,i)=iui(ri,i,i)（2）(2)式的解为：ui(ri,i,i)＝Rni,li（ri）Yli,mi（i,i）（3）式中，Yli,mi（,）：球谐函数，同氢原子；Rni,li（r）：径向函数，不同氢原子。考虑到电子的自旋，由第三章，引入了自旋波函数i=i(msi)。所以，第i个电子的总波函数：Ui＝Rni,li（ri）Yli,mi（i,i）i(msi)＝Uin,l,ml,ms（4）复杂原子的能量的一级近似（不考虑磁场力）：E=E0=i（5）考虑磁场力后，原子的能量E＝E0＋EL,SEL,S：原子中电子的轨道磁矩和自旋磁矩的相互作用（4.2讨论）由第二章，电子的状态由其波函数Ui式确定；由（4）式，Ui由四个量子数n,l,ml,ms确定。所以，电子的状态由n,l,ml,ms确定。我们知道：对一定的n值,l可取：0，1，2，。。。，（n－1），共n个值；对一定的l值,ml可取：0，1，2，。。。，l，共2l＋1个值；ms可取：1/2，共2个值。所以，四个量子数n,l,ml,ms共表示：210)12(nll=2n2种电子的状态。问题：如果某个原子由N个电子组成，这N个电子怎样分配这2n2个电子的状态？为回答如上问题，泡利（Pauli,奥地利人）1925提出泡利原理。4.1.2泡利原理和原子中电子的壳层结构31,泡利原理：表述1：原子中，由一定的4个量子数确定的一种状态，只能容纳一个电子。表述2：原子中，没有两个电子具有完全相同的四个量子数。2,电子的壳层结构电子“壳层”结构的概念由玻尔最先提出。指：原子中的电子按壳层排列：主量子数n=1,2,3,4,5,…的壳层,分别称为K,L,M,N,O,。。。，主壳层；n值确定的主壳层，含有2n2种电子的状态，按泡利原理，能容纳2n2个电子；K,L,M,N,O,。。。，主壳层分别能容纳：2，8，18，32，50，。。。，个电子。角量子数为l=0,1,2,3,4,…的壳层,分别称为s,p,d,f,g,。。。，支壳层。l值确定的支壳层，含有2（2l＋1）种电子的状态，按泡利原理，能容纳2（2l＋1）个电子。s,p,d,f,g,。。。，支壳层分别能容纳：2，6，10，14，18，。。。，个电子。例如：nlmlms(n,l,ml,ms)可表状态可容纳电子数1(K)0（1s）01/2（1，0，0，1/2）22(L)0（2s）01/2（2，0，0，1/2）21（2p）+11/2（2，1，+1，1/2）2-11/2（2，1，-1，1/2）201/2（2，1，0，1/2）23,原子中的电子按壳层排列的顺序－电子组态排列原则（基态！）：（1）泡利原理；（2）最小能量原则：电子按各个壳层的能量大小顺序，由低至高的在原子各个壳层中排列。各支壳层能量顺序图（实验规律，见：杨福家书）：1s电子数2n2：22s2p83s3p3d184s4p4d4f325s5p5d5f5g506s6p6d6f6g。。。727s7p7d7f7g。。。。。。98电子数2（2l＋1）：261014182226Na原子为例：（Z＝11）Na：1s22s22p63sNa原子基态的电子组态；4K原子为例：（Z＝19）K：1s22s22p63s23p64sK原子基态的电子组态。当K受激发，4s4p,激发态的电子组态：1s22s22p63s23p64p4,元素周期表(按基态电子组态排序)H:1s;He:1s2(2)Li:1s22s;Be:1s22s2;B:1s22s22p;。。。，Ne:1s22s22p6(8)Na:[Ne]3s;Mg:[Ne]3s2;Al:[Ne]3s23p;。。。,Ar:[Ne]3s23p6(8)K:[Ar]4s;Ca:[Ar]4s2;Sc:[Ar]4s23d;。。。，Kr:[Ar]3s23p64s23d104p6(18)。。。。。。4.1.3满支壳层（l为定值）的性质满支壳层：已被电子装满的支壳层。如：K1s22s22p63s23p64s（未满）（1）电荷分布呈球对称分布；电荷空间分布电子在空间的几率分布满支壳层全部电子的波函数2单一电子（4）式：Ui＝Rni,li（ri）Yli,mli（i,i）i(msi)＝Uin,l,ml,ms一原子中，电子的区别用（n,l,ml,ms）表示，Ui＝Un,l,ml,ms＝Rn,l（r）Yl,ml（,）(ms)满支壳层全部电子的波函数：2＝Ui2＝llmlms2/12/1Un,l,ml,ms2＝Rn,l（r）2llmlYl,ml（,）22/12/1sm(ms)2Rn,l（r）2:和角度无关球对称；llmlYl,ml（,）2＝)12(41l（P56，表2.4.2）球对称；2/12/1sm(ms)2＝(1/2)2+(-1/2)2＝1(Why?：或上或下)球对称。所以，满支壳层：2＝Ui2球对称满支壳层电荷分布呈球对称分布。由于主壳层由支壳层组成，推论：满主壳层电荷分布也呈球对称分布。（2）电子的总轨道角动量L和自旋角动量S均为零简单考虑：电荷分布在空间呈球对称分布要求：ilil5在空间任意位置有角动量il（i），必能在空间的另一对应位置有-il（-i），使得：0(,0(总）＝总）LilL；同理：0(,0(总）＝总）SisS。数学考虑：对l确定的满支壳层，ml,ms的全部取值为：ml：l,l－1，。。。，0，。。。，－（l－1），－lms：1/2,-1/2,1/2,-1/2,。。。，1/2,-1/2,。。。，1/2,-1/2,1/2,-1/2,总轨道磁量子数：;0llmlLlmM总自旋磁量子数：.02/12/1lmssmM所以：总轨道角动量：0L总自旋角动量：0S（6）由于主壳层由支壳层组成，推论：满主壳层电子的总轨道角动量和总自旋角动量为零。说明1：第三章中，碱金属的能量计算中不考虑“闭合壳层”满主壳层中电子的原因。LiNaL＝0；S＝0说明2：在复杂原子的能量计算中，除最外层电子，可以不考虑满壳层中电子的L和S。Z＝3-2e-en=1n=2Z＝11-2e-8en=1n=2-en=3Z（B）LMLℏSMSℏZ（B）6例如：Al原子电子的组态：[Ne]3s23p＝1s22s22p63s23p：只需计算3p电子;Why?L=0,S=0K原子的电子组态：1s22s22p63s23p64s：只需计算4s电子。L=0,S=0回顾：复杂原子的能量的一级近似（不考虑磁场力）：E=E0=i考虑磁场力后，原子的能量E＝E0＋EL,S（价电子的磁场力作用）问题：EL,S＝？§4.2两个价电子原子的结构和光谱(内层形成电子封闭结构)II族元素：(IIa)Be，Mg，Ca，Sr，Ba及(IIb)Zn，Cd，Hg，He，。。。电子能级结构和光谱类似。4.2.1角动量的LS耦合I，LS耦合规则电子1：1l;1s电子2：2l;2sLS耦合：21llL；21ssS（7）总角动量：SLJ（8）类似第三章，单一电子l和s的耦合：（1）角动量的本征值：22)1(:ˆLLL，22)1(:ˆSSS，22)1(:ˆJJJ。（2）量子数取值：L：(l1+l2)=Lmax,l1+l2-1,。。。，l1－l2=Lmin（9a）S：(s1+s2)=Smax,s1+s2-1,。。。，s1－s2=Smin（9b）J：(L+S)=Jmax,L+S-1,。。。，L－S=Jmin（9c）（3）磁场力耦合能量：EL,S=2,SLA{J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)}(10)（4）选择定则：J＝1,0(00)L＝1S＝0(5)能级（原子态）标记JSL127L：原子中电子的总角动量量子数，用大写S,P,D,F,G,…表示；2S+1：分裂后的能级数；S：原子中电子的总自旋角动量量子数。J：总量子数。II，1snl电子组态的LS耦合能级（什么原子？He原子）第一个电子1s：l1=0;s1=1/2第二个电子nl：l2=由n定;s2=1/2设n=4，则：l2=3，2，1，0对：l2=0，1:J=1:13S(三重态能级)L＝0；S＝0:J=0:01S(单重态能级)对：l2=1，1:J=2,1,0:0,1,23P(三重态能级:23P,13P,03P)L＝1；S＝0:J=1:11P(单重态能级)对：l2=2，1:J=3,2,1:1,2,33D(三重态能级)L＝2；S＝0:J=2:21D(单重态能级)对：l2=3，1:J=4,3,2:2,3,43F(三重态能级)L＝3；S＝0:J=3:31F(单重态能级)设n=3，则：l2=2，1，0:同学自己做！（一分钟）设n=2，则：l2=1，0:同学自己做！（一分钟）设n=1，即：1s1s＝1s21:J=1:13S(三重态能级)？L＝0；S＝0:J=0:01S(单重态能级)？813S在1s2时不存在！WHY？不符合泡利原理。分析：电子1：n1＝1,l1＝0,ml1＝0电子2：n2＝1,l2＝0,ml2＝0S=1:ms1＝1/2＝ms2电子1和电子2的四个量子数相同：不符合泡利原理，故13S不存在！01S：S=0:ms1＝1/2，ms2＝－1/2：符合泡利原理，是1s2耦合出的唯一能级。将（n,l）两个量子数相同的电子称为同科电子（又称等效电子）。显然1s2的两个电子是同科电子。如：K电子组态：1s22s22p63s23p64s。同科电子的耦合见P104，附录D（不介绍）。He原子1snl电子组态的能级总结：n=1电子组态：1s2；01S1s2s01S13Sn=2电子组态：；1s2p11P0,1,23P1s3s01S13Sn=3电子组态：1s3p；11P0,1,23P1s3d21D1,2,33D1s4s01S13S1s4p11P0,1,23Pn=4电子组态：1s4d21D1,2,33D1s4f31F2,3,43F1s5s01S13S1s5p11P0,1,23Pn=5电子组态：1s5